「多次元正規分布」の版間の差分

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'''【たじげんせいきぶんぷ (multivariate normal distribution)】'''
 
'''【たじげんせいきぶんぷ (multivariate normal distribution)】'''
  
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代表的な多次元分布. 平均ベクトルを $\mbox{\boldmath$\mu$} =(\mathrm{E}(X_1), \ldots, \mathrm{E}(X_n))$, (分散)共分散行列を $\mathbf{\Sigma}=(\mathrm{Cov}(X_i,X_j))_{i,j=1,\ldots,n}$ とすると, $n$ 次の多次元正規分布の確率密度関数は $\mbox{\boldmath$x$}=(x_1,\cdots,x_n)$ として
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代表的な多次元分布. 平均ベクトルを <math>\mathbf{\mu} =(\mathrm{E}(X_1), \ldots, \mathrm{E}(X_n)) \,</math>, (分散)共分散行列を <math>\mathbf{\Sigma}=(\mathrm{Cov}(X_i,X_j))_{i,j=1,\ldots,n} \,</math> とすると, <math>n \,</math> 次の多次元正規分布の確率密度関数は <math>\mathbf{x}=(x_1,\cdots,x_n) \,</math> として
  
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\[
+
<math>
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f(\mbox{\boldmath$x$})=  
+
f(\mathbf{x})=  
 
\displaystyle{\frac{1}{(2\pi)^{n/2} \sqrt{|\mathbf{\Sigma}|}} \mathrm{exp}
 
\displaystyle{\frac{1}{(2\pi)^{n/2} \sqrt{|\mathbf{\Sigma}|}} \mathrm{exp}
 
   \left[ - \frac{1}{2}  
 
   \left[ - \frac{1}{2}  
−
     (\mbox{\boldmath$x$}-\mbox{\boldmath$\mu$}) \mathbf{\Sigma}^{-1}
+
     (\mathbf{x}-\mathbf{\mu}) \mathbf{\Sigma}^{-1}
−
     (\mbox{\boldmath$x$}-\mbox{\boldmath$\mu$})^{\top} \right] }
+
     (\mathbf{x}-\mathbf{\mu})^{\top} \right] }
−
\]
+
\,</math>
  
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で与えられる. ただし, $\mbox{\boldmath$x$}^{\top}$ はベクトル $\mbox{\boldmath$x$}$ の転置, $|\mathbf{\Sigma}|$ は行列式を表す. 統計学における多変量解析などで中心的な役割を果たす.
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で与えられる. ただし, <math>\mathbf{x}^{\top} \,</math> はベクトル <math>\mathbf{x} \,</math> の転置, <math>|\mathbf{\Sigma}| \,</math> は行列式を表す. 統計学における多変量解析などで中心的な役割を果たす.

2007年7月14日 (土) 01:00時点における版

【たじげんせいきぶんぷ (multivariate normal distribution)】

代表的な多次元分布. 平均ベクトルを , (分散)共分散行列を とすると, 次の多次元正規分布の確率密度関数は として

で与えられる. ただし, はベクトル の転置, は行列式を表す. 統計学における多変量解析などで中心的な役割を果たす.

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