フェンシェル型双対定理

【ふぇんしぇるがたそうついていり (Fenchel-type duality theorem)】

フェンシェル(フェンケル)型双対定理とは, 一般に, 「凸関数」と「凹関数」の組$$(f,g)$$とそれらの共役関数の組$$(f^{\bullet },g^{\circ })$$の間に成り立つ最大最小定理を意味する. 例えば, $$\textstyle \langle p,x\rangle =\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}$$として, 以下の形の主張となる.

${\mbox{inf}}\{f(x)-g(x)\mid x\in {\mathbf {Z} }\}^{n}=$ ${\mbox{sup}}\{g^{\circ }(p)-f^{\bullet }(p)\mid p\in {\mathbf {Z} }^{n}\},$ $f^{\bullet }(p)={\mbox{sup}}\{\langle p,x\rangle -f(x)\mid x\in {\mathbf {Z} }^{n}\}:(p\in {\mathbf {Z} }^{n}),$ $g^{\circ }(p)={\mbox{inf}}\{\langle p,x\rangle -g(x)\mid x\in {\mathbf {Z} }^{n}\}:(p\in {\mathbf {Z} }^{n}).$