「フェンシェルの双対性」の版間の差分
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(新しいページ: '【ふぇんしぇるのそうついせい (Fenchel duality)】 2つの下半連続な真凸関数 $k: {\bf R}^n\to\bar{{\bf R}}$ と $h: {\bf R}^m\to\bar{{\bf R}}$, および...') |
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| − | 2つの下半連続な真凸関数 $k: {\bf R}^n\to\bar{{\bf R}}$ と $h: {\bf R}^m\to\bar{{\bf R}}$, および $A\in{{\bf R}^{m\times{n}}}$, $b\in{{\bf R}^m}$, $c\in{{\bf R}^n}$ に対して, 次の問題のペアに対して成立する双対性のこと. | + | 2つの下半連続な真凸関数 $<math>k: {\bf R}^n\to\bar{{\bf R}}</math>$ と $<math>h: {\bf R}^m\to\bar{{\bf R}}</math>$, および $<math>A\in{{\bf R}^{m\times{n}}}</math>$, $<math>b\in{{\bf R}^m}</math>$, $<math>c\in{{\bf R}^n}</math>$ に対して, 次の問題のペアに対して成立する双対性のこと. <br><br><center> |
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| − | \begin{array}{l} | + | <tr><td><math>\begin{array}{l} |
\displaystyle{ \min_{x\in{{\bf R}^n}}\;\{c^{T}x+k(x)+h(b-Ax)\},} \\ | \displaystyle{ \min_{x\in{{\bf R}^n}}\;\{c^{T}x+k(x)+h(b-Ax)\},} \\ | ||
\displaystyle{ \max_{y\in{{\bf R}^m}}\;\{b^{T}y-h^{*}(y)-k^{*}(A^{T}y-c)\} } | \displaystyle{ \max_{y\in{{\bf R}^m}}\;\{b^{T}y-h^{*}(y)-k^{*}(A^{T}y-c)\} } | ||
| − | \end{array} | + | \end{array}</math> |
| + | </td></tr> | ||
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\] | \] | ||
ここで, ${}^*$ は共役関数を表す. 通常は, 簡略化して目的関数を凸関数 $f_1(x)$ と凹関数 $f_2(x)$ の差で表した主問題 $\min_{x}\{f_1(x)-f_2(x)\}$ に対して, $\max_{y}\{f_{2}^{*}(y)-f_{1}^{*}(y)\}$ をフェンシェルの双対問題と呼び, その双対性を指す. | ここで, ${}^*$ は共役関数を表す. 通常は, 簡略化して目的関数を凸関数 $f_1(x)$ と凹関数 $f_2(x)$ の差で表した主問題 $\min_{x}\{f_1(x)-f_2(x)\}$ に対して, $\max_{y}\{f_{2}^{*}(y)-f_{1}^{*}(y)\}$ をフェンシェルの双対問題と呼び, その双対性を指す. | ||
2007年7月13日 (金) 15:48時点における版
【ふぇんしぇるのそうついせい (Fenchel duality)】
2つの下半連続な真凸関数 $$ と $$, および $$, $$, $$ に対して, 次の問題のペアに対して成立する双対性のこと.
\[
\]
ここで, ${}^*$ は共役関数を表す. 通常は, 簡略化して目的関数を凸関数 $f_1(x)$ と凹関数 $f_2(x)$ の差で表した主問題 $\min_{x}\{f_1(x)-f_2(x)\}$ に対して, $\max_{y}\{f_{2}^{*}(y)-f_{1}^{*}(y)\}$ をフェンシェルの双対問題と呼び, その双対性を指す.