「フェンシェル型双対定理」の版間の差分
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| − | フェンシェル(フェンケル)型双対定理とは, 一般に, 「凸関数」と「凹関数」の組$(f,g)$とそれらの共役関数の組$(f\sp{\bullet}, g\sp{\circ})$の間に成り立つ最大最小定理を意味する. 例えば, $\langle p, x \rangle = \sum_{i=1}\sp{n}p_{i}x_{i}$として, 以下の形の主張となる. | + | フェンシェル(フェンケル)型双対定理とは, 一般に, 「凸関数」と「凹関数」の組$<math>(f,g)</math>$とそれらの共役関数の組$<math>(f\sp{\bullet}, g\sp{\circ})</math>$の間に成り立つ最大最小定理を意味する. 例えば, $<math>\langle p, x</math> \rangle = \sum_{i=1}\sp{n}p_{i}x_{i}$として, 以下の形の主張となる. <br><br><center> |
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| − | \begin{array}{l} | + | <tr><td><math>\begin{array}{l} |
\inf\{ f(x) - g(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n} \} = \\ | \inf\{ f(x) - g(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n} \} = \\ | ||
\hspace*{10mm} \sup\{ g\sp{\circ}(p) - f\sp{\bullet}(p) | \hspace*{10mm} \sup\{ g\sp{\circ}(p) - f\sp{\bullet}(p) | ||
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= \inf\{ \langle p, x \rangle - g(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n} \} | = \inf\{ \langle p, x \rangle - g(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n} \} | ||
\: ( p \in {\bf Z}\sp{n}) . | \: ( p \in {\bf Z}\sp{n}) . | ||
| − | \end{array} | + | \end{array}</math> |
| − | + | </td></tr> | |
| + | </table> | ||
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2007年7月13日 (金) 15:39時点における版
【ふぇんしぇるがたそうついていり (Fenchel-type duality theorem)】
フェンシェル(フェンケル)型双対定理とは, 一般に, 「凸関数」と「凹関数」の組$$とそれらの共役関数の組$構文解析に失敗 (不明な関数「\sp」): {\displaystyle (f\sp{\bullet}, g\sp{\circ})}
$の間に成り立つ最大最小定理を意味する. 例えば, $ \rangle = \sum_{i=1}\sp{n}p_{i}x_{i}$として, 以下の形の主張となる.
| 構文解析に失敗 (不明な関数「\sp」): {\displaystyle \begin{array}{l} \inf\{ f(x) - g(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n} \} = \\ \hspace*{10mm} \sup\{ g\sp{\circ}(p) - f\sp{\bullet}(p) \mid p \in {\bf Z}\sp{n} \} , \\ f\sp{\bullet}(p) = \sup\{ \langle p, x \rangle - f(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n} \} \: ( p \in {\bf Z}\sp{n}) , \\ g\sp{\circ}(p) = \inf\{ \langle p, x \rangle - g(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n} \} \: ( p \in {\bf Z}\sp{n}) . \end{array}} |