「自己整合障壁関数」の版間の差分
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'''【じこせいごうしょうへきかんすう (self-concordant barrier function)】''' | '''【じこせいごうしょうへきかんすう (self-concordant barrier function)】''' | ||
| − | 以下の条件を満たす開凸領域 | + | 以下の条件を満たす開凸領域 <math>F\subseteq \mathbf{R}^n \,</math> 上の実数値関数 <math>g \,</math>. |
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| − | \ | + | <ol> |
| + | <li> 任意の <math>\bar{x}\in\partial F \,</math> に収束する<math>F \,</math> の任意の点列 <math>\{ x^k \} \,</math> に対し,<math>k\rightarrow \infty \,</math> で <math>g(x^k)\rightarrow\infty \,</math> となる.</li> | ||
| + | <li> 任意の <math>x\in F \,</math> において, 任意の方向 <math>h\in \mathbf{R}^n \,</math> に対して, 次が成り立つ.</li> | ||
| + | </ol> | ||
| + | <math> | ||
\begin{array}{l} | \begin{array}{l} | ||
\displaystyle{\left|\sum_{i,j,k}\frac{\partial^3 g}{\partial x_i\partial x_j\partial x_k}(x) | \displaystyle{\left|\sum_{i,j,k}\frac{\partial^3 g}{\partial x_i\partial x_j\partial x_k}(x) | ||
h_i h_j h_k \right| \leq } \\ | h_i h_j h_k \right| \leq } \\ | ||
| − | \ | + | \ \ \ \ \ \displaystyle{2 \left|\sum_{i,j}\frac{\partial^2 g}{\partial x_i\partial x_j}(x) |
h_i h_j \right|^{3/2},} \\[1.4em] | h_i h_j \right|^{3/2},} \\[1.4em] | ||
\displaystyle{\left( | \displaystyle{\left( | ||
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\leq \nu \sum_{i,j}\frac{\partial^2 g}{\partial x_i\partial x_j}(x)h_ih_j.} | \leq \nu \sum_{i,j}\frac{\partial^2 g}{\partial x_i\partial x_j}(x)h_ih_j.} | ||
\end{array} | \end{array} | ||
| − | \ | + | \,</math> |
| − | |||
2007年7月13日 (金) 00:31時点における版
【じこせいごうしょうへきかんすう (self-concordant barrier function)】
以下の条件を満たす開凸領域 上の実数値関数 .
- 任意の に収束する の任意の点列 に対し, で となる.
- 任意の において, 任意の方向 に対して, 次が成り立つ.
![{\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle {\left|\sum _{i,j,k}{\frac {\partial ^{3}g}{\partial x_{i}\partial x_{j}\partial x_{k}}}(x)h_{i}h_{j}h_{k}\right|\leq }\\\ \ \ \ \ \displaystyle {2\left|\sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(x)h_{i}h_{j}\right|^{3/2},}\\[1.4em]\displaystyle {\left(\sum _{i}{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}(x)h_{i}\right)^{2}\leq \nu \sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(x)h_{i}h_{j}.}\end{array}}\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/509a9391fad57188f9fd1165b4fa2b6c066809fe)