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C_1 (T) = \frac{c_f F(T) + c_p [1 - F(T)]}{\int^T_0 [1 - F(t)] {\rm d}t}. | C_1 (T) = \frac{c_f F(T) + c_p [1 - F(T)]}{\int^T_0 [1 - F(t)] {\rm d}t}. | ||
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r(T) \int^T_0 \left[ 1 - F(t) \right] {\rm d}t - F(T) = \frac{c_p}{c_f - c_p}. | r(T) \int^T_0 \left[ 1 - F(t) \right] {\rm d}t - F(T) = \frac{c_p}{c_f - c_p}. | ||
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C_2(T) = \frac{c_f N(T) + c_p}{T}. | C_2(T) = \frac{c_f N(T) + c_p}{T}. | ||
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T n(T) - N(T) = \frac{c_p}{c_f}. | T n(T) - N(T) = \frac{c_p}{c_f}. | ||
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C_3(T) = \frac{c_m \int^T_0 r(t) {\rm d}t + c_p}{T}. | C_3(T) = \frac{c_m \int^T_0 r(t) {\rm d}t + c_p}{T}. | ||
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T r(T) - \int^T_0 r(t){\rm d}t = \frac{c_p}{c_m}. | T r(T) - \int^T_0 r(t){\rm d}t = \frac{c_p}{c_m}. | ||
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C_I(T) = \frac{c_i + c_d T}{1 - {\rm e}^{- \lambda T}} - \frac{c_d}{\lambda}. | C_I(T) = \frac{c_i + c_d T}{1 - {\rm e}^{- \lambda T}} - \frac{c_d}{\lambda}. | ||
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{\rm e}^{\lambda T} - 1 - \lambda T = \frac{\lambda c_i}{c_d}. | {\rm e}^{\lambda T} - 1 - \lambda T = \frac{\lambda c_i}{c_d}. | ||
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故障分布が一般分布 $F(t)$ に従い, 密度関数 $f(t)$ をもつ場合, 点検時刻を $0 = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_k < x_{k+1} < \ldots$ とする. そのとき, 動作開始から故障発見までの期待費用は | 故障分布が一般分布 $F(t)$ に従い, 密度関数 $f(t)$ をもつ場合, 点検時刻を $0 = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_k < x_{k+1} < \ldots$ とする. そのとき, 動作開始から故障発見までの期待費用は | ||
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C(x_1, x_2, \ldots) = \sum^{\infty}_{k=0} \int^{x_{k+1}}_{x_k} | C(x_1, x_2, \ldots) = \sum^{\infty}_{k=0} \int^{x_{k+1}}_{x_k} | ||
\left[ c_i (k+1) + c_d (x_{k+1} - t) \right] {\rm d}F(t) | \left[ c_i (k+1) + c_d (x_{k+1} - t) \right] {\rm d}F(t) | ||
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x_{k+1} - x_k = \frac{F(x_k) - F(x_{k-1})}{f(x_k)} - \frac{c_i}{c_d} | x_{k+1} - x_k = \frac{F(x_k) - F(x_{k-1})}{f(x_k)} - \frac{c_i}{c_d} | ||
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2007年7月11日 (水) 21:31時点における版
【よぼうほぜん (preventive maintenance) 】
予防保全は大きく分けて時間計画保全と状態監視保全がある. 時間計画保全は故障の状態とか摩耗による機能低下などにまったく無関係に, アイテムの故障時間分布と動作時間(年齢)にもとづいて保全をする.
ここでは, 保全の対象とするシステムを単一ユニットとし, ユニットの故障時間分布を $F(t)$ (平均 $1/\lambda$), その密度関数を $f(t)$, 故障率を $r(t) \equiv f(t)/[1 - F(t)]$, $F(t)$ の再生関数を\(\displaystyleN(t) \equiv \sum^{\infty}_{n=1} F^{(n)} (t)\)とする. ここで, $F^{(n)}$ は $F(t)$ の $n$ 重たたみこみを表し, $N(t)$ は区間 $(0, t]$ の平均故障数を示す.
保全はユニットの取替えによって行われるとし, 単位時間当りの期待費用を最小にする次の3つの最適予防保全方策 (最適取替方策) について述べる.
(1) 年齢取替え
ユニットは故障または動作開始後 $T$ 時間のどちらか早い時点で取替えられ, その取替え費用をそれぞれ $c_f, c_p (< c_f)$ とする. そのとき, 単位時間当りの期待費用は
![{\displaystyle C_{1}(T)={\frac {c_{f}F(T)+c_{p}[1-F(T)]}{\int _{0}^{T}[1-F(t)]{\rm {d}}t}}.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0c1a86af2a5333a4a20204eb3ff80421c538360)
とくに, 故障率 $r(t)$ が単調増加関数で, $r(\infty) > \lambda c_p / (c_f - c_p)$ とする. そのとき, 費用 $C_1(T)$ を最小にする最適取替時間 $T^*$ は次の方程式の有限で唯一の解として求められる.
![{\displaystyle r(T)\int _{0}^{T}\left[1-F(t)\right]{\rm {d}}t-F(T)={\frac {c_{p}}{c_{f}-c_{p}}}.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c441cae23c6b78087bac3520cfbc3986c6521eaf)
(2) ブロック取替え
ユニットは年齢に関係なく, 時刻 $kT (k = 1, 2, \ldots)$ で取替えられる. 故障による取替えを $c_f, kT$ 時における取替え費用を $c_p$ とするとき, 単位時間当りの期待費用は
再生関数 $N(T)$ の密度関数を $n(t) \equiv {\rm d} N(t) / {\rm d}t$ とおくと, 最適取替時間 $T^*$ は次式の解として与えられる.
(3) 小修理取替え
故障時において, 取替えるのではなく{小修理} (minimal repair) をする. いわば, 故障率が小修理によって不変とする. このとき, 故障時による小修理の費用を $c_m, kT$ 時における取替え費用を $c_p$ とするとき, 単位時間当りの期待費用は
とくに, 故障率 $r(t)$ が単調増加関数のとき, 最適な $T^*$ が次式の有限な解として唯一求められる.
一般に, 期待費用を最小にする問題を考えたが, $c_f$ のかわりに事後保全時間 $\overline{M}_f, c_p$ のかわりに予防保全時間 $\overline{M}_p$ におきかえると, 取替方策は定常アベイラビリティを最大にする問題におき換えることができ
る.
ユニットの故障率が IFR 型 (故障率が増加関数) でない場合やユニットが複雑に組合わさってシステムの分布の情報が判らない航空機などの場合, ある特性値の状態を監視してその状態に応じて行う保全を (状態監視保全) という. また, システムの状態として動作状態と故障状態の2状態でなく, 動作状態を機能の劣化の程度や損傷量などによって多くの異なった状態に分類する状態劣化システム (state deterioration system) (マルコフ劣化システム) を考えることもできる. このようなシステムに対して, 観測された状態を見て保全を行うかどうかを決定する最適予防保全が議論されている.
故障などがただちに発見できない場合, 修理・取替などの保全のまえに, アイテムに異常があるかどうかを調べるため, 点検が実施される. 日常生活における自動車の車検, 定期健康診断, 消火器や予備発電機の定期検査なども点検の1種である.
アイテムの故障分布が $(1 - {\rm e}^{- \lambda t})$ の指数分布に従う場合, 定期的に点検する方策 (periodic inspection policy) が実施される. 点検の時間は無視し, その費用を $c_i$, また故障から発見までの単位時間当りの損失費用を $c_d$ とする. アイテムは一定間隔 $T$ で点検され, 点検によって故障を発見すれば, 直ちに修理または取替える. そのとき, 動作開始から故障発見までの期待費用は
期待費用 $C_I(T)$ を最小にする最適点検時間 $T^*$ は次式を満たす有限で唯一の解として求められる.
故障分布が一般分布 $F(t)$ に従い, 密度関数 $f(t)$ をもつ場合, 点検時刻を $0 = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_k < x_{k+1} < \ldots$ とする. そのとき, 動作開始から故障発見までの期待費用は
![{\displaystyle C(x_{1},x_{2},\ldots )=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{x_{k}}^{x_{k+1}}\left[c_{i}(k+1)+c_{d}(x_{k+1}-t)\right]{\rm {d}}F(t)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8816474a3723c35c98d9dcfa3890cfa5968d83f5)
で与えられ, 最適な点検時刻列は次式より求められる.
参考文献
[1] R. E. Barlow and F. Proschan, Mathematical Theory of Reliability, SIAM, Philadelphia, PA, 1996.
[2] 中川覃夫, 河合一, 「システムの信頼性・保全性解析」, 『オペレーションズ・リサーチ』, 23 (1978), 544-554.
[3] S. Osaki, Stochastic System Reliability Modeling, World Scientific, Philadelphia, PA, 1985.
[4] 塩見弘, 『信頼性工学入門』, 丸善, 1982.
[5] 三根久, 河合一, 『信頼性・保全性の数理』, 朝倉書店, 1982.