オルンシュタイン・ウーレンベック過程

【おるんしゅたいんうーれんべっくかてい (Ornstein-Uhlenbeck process)】

$\{B(t)\}_{t\geq 0}\,$ をブラウン運動とするとき, ランジュバン (Langevin) の方程式と呼ばれる確率微分方程式~$\mathrm {d} U(t)=-\alpha \,U(t)\,\mathrm {d} t+\sigma \,\mathrm {d} B(t)\,$($\alpha >0\,$, $\sigma >0\,$) の解

$U(t)=\mathrm {e} ^{-\alpha t}\,{\Bigl (}U(0)+\sigma \int _{0}^{t}\mathrm {e} ^{\alpha s}\,\mathrm {d} B(s){\Bigr )}\,$

によって表される確率過程~$\{U(t)\}_{t\geq 0}\,$. この確率過程は連続な標本路をもつマルコフ過程であり, $U(0)=x\,$ のもとで正規型の定常分布~${\mbox{N}}(x,\sigma ^{2}/(2\,\alpha ))\,$ をもつ.