多次元正規分布

【たじげんせいきぶんぷ (multivariate normal distribution)】

代表的な多次元分布. 平均ベクトルを ${\boldsymbol {\mu }}=(\mathrm {E} (X_{1}),\ldots ,\mathrm {E} (X_{n}))\,$, (分散)共分散行列を $\mathbf {\Sigma } =(\mathrm {Cov} (X_{i},X_{j}))_{i,j=1,\ldots ,n}\,$ とすると, $n\,$ 次の多次元正規分布の確率密度関数は ${\boldsymbol {x}}=(x_{1},\cdots ,x_{n})\,$ として

$f({\boldsymbol {x}})=\displaystyle {{\frac {1}{(2\pi )^{n/2}{\sqrt {|\mathbf {\Sigma } |}}}}\mathrm {exp} \left[-{\frac {1}{2}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }})\mathbf {\Sigma } ^{-1}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }})^{\top }\right]}\,$

で与えられる. ただし, ${\boldsymbol {x}}^{\top }\,$ はベクトル ${\boldsymbol {x}}\,$ の転置, $|\mathbf {\Sigma } |\,$ は行列式を表す. 統計学における多変量解析などで中心的な役割を果たす.