フェンシェル型双対定理

【ふぇんしぇるがたそうついていり (Fenchel-type duality theorem)】

フェンシェル(フェンケル)型双対定理とは, 一般に, 「凸関数」と「凹関数」の組$(f,g)$とそれらの共役関数の組$(f^{\bullet },g^{\circ })$の間に成り立つ最大最小定理を意味する. 例えば, $\textstyle \langle p,x\rangle =\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}$として, 以下の形の主張となる.

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${\mbox{inf}}\{f(x)-g(x)\mid x\in {\mathbf {Z} }\}^{n}=$

${\mbox{sup}}\{g^{\circ }(p)-f^{\bullet }(p)\mid p\in {\mathbf {Z} }^{n}\},$

$f^{\bullet }(p)={\mbox{sup}}\{\langle p,x\rangle -f(x)\mid x\in {\mathbf {Z} }^{n}\}:(p\in {\mathbf {Z} }^{n}),$
$g^{\circ }(p)={\mbox{inf}}\{\langle p,x\rangle -g(x)\mid x\in {\mathbf {Z} }^{n}\}:(p\in {\mathbf {Z} }^{n}).$