【たじげんせいきぶんぷ (multivariate normal distribution)】
代表的な多次元分布. 平均ベクトルを μ = ( E ( X 1 ) , … , E ( X n ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=(\mathrm {E} (X_{1}),\ldots ,\mathrm {E} (X_{n}))\,} , (分散)共分散行列を Σ = ( C o v ( X i , X j ) ) i , j = 1 , … , n {\displaystyle \mathbf {\Sigma } =(\mathrm {Cov} (X_{i},X_{j}))_{i,j=1,\ldots ,n}\,} とすると, n {\displaystyle n\,} 次の多次元正規分布の確率密度関数は x = ( x 1 , ⋯ , x n ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},\cdots ,x_{n})\,} として
f ( x ) = 1 ( 2 π ) n / 2 | Σ | e x p [ − 1 2 ( x − μ ) Σ − 1 ( x − μ ) ⊤ ] {\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=\displaystyle {{\frac {1}{(2\pi )^{n/2}{\sqrt {|\mathbf {\Sigma } |}}}}\mathrm {exp} \left[-{\frac {1}{2}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }})\mathbf {\Sigma } ^{-1}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }})^{\top }\right]}\,}
で与えられる. ただし, x ⊤ {\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{\top }\,} はベクトル x {\displaystyle {\boldsymbol {x}}\,} の転置, | Σ | {\displaystyle |\mathbf {\Sigma } |\,} は行列式を表す. 統計学における多変量解析などで中心的な役割を果たす.
, (分散)共分散行列を 
とすると, 
次の多次元正規分布の確率密度関数は 
として
![{\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=\displaystyle {{\frac {1}{(2\pi )^{n/2}{\sqrt {|\mathbf {\Sigma } |}}}}\mathrm {exp} \left[-{\frac {1}{2}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }})\mathbf {\Sigma } ^{-1}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }})^{\top }\right]}\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec280bf445327010971213fe19d872e8f064773)
はベクトル 
の転置, 
は行列式を表す. 統計学における多変量解析などで中心的な役割を果たす.