フェンシェルの双対性

【ふぇんしぇるのそうついせい (Fenchel duality)】

2つの下半連続な真凸関数 $構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle k: {\mathbf R}^n\to\bar{{\mathbf R}}} $ と $構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle h: {\mathbf R}^m\to\bar{{\mathbf R}}} $, および $$A\in {{\mathbf {R} }^{m\times {n}}}$$, $構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle b\in{{\mathbf R}^m}} $, $構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c\in{{\mathbf R}^n}} $ に対して, 次の問題のペアに対して成立する双対性のこと.

${\begin{array}{l}\displaystyle {\min _{x\in {{\mathbf {R} }^{n}}}\;\{c^{T}x+k(x)+h(b-Ax)\},}\\\displaystyle {\max _{y\in {{\mathbf {R} }^{m}}}\;\{b^{T}y-h^{*}(y)-k^{*}(A^{T}y-c)\}}\end{array}}$

ここで, $${}^{*}$$ は共役関数を表す. 通常は, 簡略化して目的関数を凸関数 $$f_{1}(x)$$ と凹関数 $構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f_2(x)} $ の差で表した主問題 $$\min _{x}\{f_{1}(x)-f_{2}(x)\}$$ に対して, $構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \max_{y}\{f_{2}^{*}(y)-f_{1}^{*}(y)\}} $ をフェンシェルの双対問題と呼び, その双対性を指す.