ラグランジュ関数

【らぐらんじゅかんすう (Lagrangian function)】

非線形計画問題

\[ \begin{array}{lll}

  \mbox{min.} &  f_0(x) & \\
  \mbox{\rm{s.t.}} &  g_i(x) \le 0, & i=1,\dots,k, \\
                   &  h_j(x) = 0, & j=1,\dots,l

\end{array} \]

に対して次式で定義される関数 $L\,$ をラグランジュ関数という.

$L(x,\lambda ,\mu ):=f_{0}(x)+\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}g_{i}(x)+\sum _{j=1}^{l}\mu _{j}h_{j}(x)$

また,

$(\lambda ,\mu )=(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k},\mu _{1},\dots ,\mu _{l})\in {{\mathbf {R} }_{+}^{k}\times {{\mathbf {R} }^{l}}}\,$をラグランジュ乗数と呼ぶ.

ラグランジュ関数は数理計画全般において重要な役割を果たす.