「《巡回セールスマン問題》」の版間の差分
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'''【じゅんかいせーるすまんもんだい (traveling salesman problem) 】''' | '''【じゅんかいせーるすまんもんだい (traveling salesman problem) 】''' | ||
| − | 点集合 $V$，枝集合 $E$ から構成されるグラフ $G=(V,E)$, 枝 $(i,j) \in E$ 上の距離 $d_{ij}$ が与えられたとき，点集合 $V$ のすべての点をちょうど1回ずつ経由する巡回路（ハミルトン閉路）で，枝の距離の合計を最小にするものを求める問題を[[巡回セールスマン問題]] (traveling salesman problem) （行商人問題）とよぶ． | + | 点集合 $<math>V</math>$，枝集合 $<math>E</math>$ から構成されるグラフ $<math>G=(V,E)</math>$, 枝 $<math>(i,j) \in E</math>$ 上の距離 $<math>d_{ij}</math>$ が与えられたとき，点集合 <math>$V</math>$ のすべての点をちょうど1回ずつ経由する巡回路（ハミルトン閉路）で，枝の距離の合計を最小にするものを求める問題を[[巡回セールスマン問題]] (traveling salesman problem) （行商人問題）とよぶ． |
| − | 特に，距離の対称性（$d_{ij}=d_{ji}$）を満たすものを対称巡回セールスマン問題，3角不等式（$d_{ij} \leq d_{ik} + d_{kj}$）を満たすものを3角不等式を満たす巡回セールスマン問題，点集合が $d$ 次元超立方体 $[0,1]^d$ 内に分布しており，$2$ 点間の距離が点間のユークリッド距離で定義されたものを[[ユークリッド巡回セールスマン問題]] (Euclidean (Euclidian) traveling salesman problem) とよぶ． | + | 特に，距離の対称性（$<math>d_{ij}=d_{ji}</math>$）を満たすものを対称巡回セールスマン問題，3角不等式（$<math>d_{ij} \leq d_{ik} + d_{kj}</math>$）を満たすものを3角不等式を満たす巡回セールスマン問題，点集合が $<math>d</math>$ 次元超立方体 $<math>[0,1]^d</math>$ 内に分布しており，$<math>2$</math> 点間の距離が点間のユークリッド距離で定義されたものを[[ユークリッド巡回セールスマン問題]] (Euclidean (Euclidian) traveling salesman problem) とよぶ． |
巡回セールスマン問題に対する応用は，数百点を扱う基盤配線，運搬経路計画，スケジューリング，数万点を扱う基盤穿孔，X線結晶構造解析 (タンパク質の構造解析)，数百万点を扱うVLSI設計など，さまざまである．また，次世代のVLSI設計においては，数千万点の問題を解く必要があると言われている． | 巡回セールスマン問題に対する応用は，数百点を扱う基盤配線，運搬経路計画，スケジューリング，数万点を扱う基盤穿孔，X線結晶構造解析 (タンパク質の構造解析)，数百万点を扱うVLSI設計など，さまざまである．また，次世代のVLSI設計においては，数千万点の問題を解く必要があると言われている． | ||
| − | 巡回セールスマン問題は，[[NP困難]] (NP-hard) であり, 多項式時間の厳密解法が絶望視されているばかりでなく，近似比が 一定値$\alpha (<\infty)$ で抑えられる多項式時間の近似解法さえ${\rm P} \neq {\rm NP}$ のもとでは存在しないことが示されている． | + | 巡回セールスマン問題は，[[NP困難]] (NP-hard) であり, 多項式時間の厳密解法が絶望視されているばかりでなく，近似比が 一定値$<math>\alpha (<\infty)</math>$ で抑えられる多項式時間の近似解法さえ$<math>{\rm P} \neq {\rm NP}</math>$ のもとでは存在しないことが示されている． |
| − | 3角不等式を満たす対称巡回セールスマン問題に対しては，近似比が $3/2$ 以下の保証をもつ多項式時間の近似解法が知られている．また，$d$ を定数としたときの $d$ 次元ユークリッド巡回セールスマン問題に対しては，固定された $\epsilon >0$ を与えたときに，近似比が $1+\epsilon$ 以下に抑えられる多項式時間の近似解法（近似スキーム）が存在する． | + | 3角不等式を満たす対称巡回セールスマン問題に対しては，近似比が $<math>3/2</math>$ 以下の保証をもつ多項式時間の近似解法が知られている．また，$<math>d</math>$ を定数としたときの $<math>d</math>$ 次元ユークリッド巡回セールスマン問題に対しては，固定された $<math>\epsilon >0$</math> を与えたときに，近似比が $<math>1+\epsilon</math>$ 以下に抑えられる多項式時間の近似解法（近似スキーム）が存在する． |
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| + | 実用的な近似解法としては，[[最近近傍法]] (nearest neighbor method) や[[セービング法]] (saving method) によって構築された巡回路を[[k-opt法 (巡回セールスマン問題の)|k-opt法]] {{$<math>k</math>$}-opt法}($<math>k</math>$-opt)で改善する方法が一般的である．厳密解法としては，巡回セールスマン問題の多面体構造（[[TSP多面体]](TSP polytope)）を利用した[[分枝カット法]] (branch and cut method) が有効であり，実務的な大規模問題の求解に成功している． | ||
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'''参考文献''' | '''参考文献''' | ||
[1] 山本芳嗣, 久保幹雄,『巡回セールスマン問題への招待』, 朝倉書店，1997. | [1] 山本芳嗣, 久保幹雄,『巡回セールスマン問題への招待』, 朝倉書店，1997. | ||
2007年7月6日 (金) 15:44時点における版
【じゅんかいせーるすまんもんだい (traveling salesman problem) 】
点集合 $$，枝集合 $$ から構成されるグラフ $$, 枝 $$ 上の距離 $$ が与えられたとき，点集合 $ のすべての点をちょうど1回ずつ経由する巡回路（ハミルトン閉路）で，枝の距離の合計を最小にするものを求める問題を巡回セールスマン問題 (traveling salesman problem) （行商人問題）とよぶ．
特に，距離の対称性（$$）を満たすものを対称巡回セールスマン問題，3角不等式（$$）を満たすものを3角不等式を満たす巡回セールスマン問題，点集合が $$ 次元超立方体 $$ 内に分布しており，$ 点間の距離が点間のユークリッド距離で定義されたものをユークリッド巡回セールスマン問題 (Euclidean (Euclidian) traveling salesman problem) とよぶ．
![{\displaystyle [0,1]^{d}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e13ae4917276744b214714a20b3cb8ee305e309d)
巡回セールスマン問題に対する応用は，数百点を扱う基盤配線，運搬経路計画，スケジューリング，数万点を扱う基盤穿孔，X線結晶構造解析 (タンパク質の構造解析)，数百万点を扱うVLSI設計など，さまざまである．また，次世代のVLSI設計においては，数千万点の問題を解く必要があると言われている．
巡回セールスマン問題は，NP困難 (NP-hard) であり, 多項式時間の厳密解法が絶望視されているばかりでなく，近似比が 一定値$$ で抑えられる多項式時間の近似解法さえ$$ のもとでは存在しないことが示されている．
3角不等式を満たす対称巡回セールスマン問題に対しては，近似比が $$ 以下の保証をもつ多項式時間の近似解法が知られている．また，$$ を定数としたときの $$ 次元ユークリッド巡回セールスマン問題に対しては，固定された $ を与えたときに，近似比が $$ 以下に抑えられる多項式時間の近似解法（近似スキーム）が存在する．
実用的な近似解法としては，最近近傍法 (nearest neighbor method) やセービング法 (saving method) によって構築された巡回路をk-opt法 {{$$}-opt法}($$-opt)で改善する方法が一般的である．厳密解法としては，巡回セールスマン問題の多面体構造（TSP多面体(TSP polytope)）を利用した分枝カット法 (branch and cut method) が有効であり，実務的な大規模問題の求解に成功している．
参考文献
[1] 山本芳嗣, 久保幹雄,『巡回セールスマン問題への招待』, 朝倉書店，1997.