ラグランジュ関数

【らぐらんじゅかんすう (Lagrangian function)】

非線形計画問題

${\begin{array}{lll}{\mbox{min.}}&f_{0}(x)&\\{\mbox{s.t.}}&g_{i}(x)\leq 0,&i=1,\dots ,k,\\&h_{j}(x)=0,&j=1,\dots ,l\end{array}}$

に対して次式で定義される関数 $L\,$ をラグランジュ関数という.

$L(x,\lambda ,\mu ):=f_{0}(x)+\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}g_{i}(x)+\sum _{j=1}^{l}\mu _{j}h_{j}(x)$

また, $(\lambda ,\mu )=(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k},\mu _{1},\dots ,\mu _{l})\in {{\mathbf {R} }_{+}^{k}\times {{\mathbf {R} }^{l}}}\,$をラグランジュ乗数と呼ぶ. ラグランジュ関数は数理計画全般において重要な役割を果たす.