多次元正規分布

【たじげんせいきぶんぷ (multivariate normal distribution)】

代表的な多次元分布. 平均ベクトルを ${\boldsymbol {\mu }}=(\mathrm {E} (X_{1}),\ldots ,\mathrm {E} (X_{n}))\,$, (分散)共分散行列を $\mathbf {\Sigma } =(\mathrm {Cov} (X_{i},X_{j}))_{i,j=1,\ldots ,n}\,$ とすると, $n\,$ 次の多次元正規分布の確率密度関数は 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \boldsymbol{x}=(x_1,\cdots,x_n) \,} として

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(\boldsymbol{x})= \displaystyle{\frac{1}{(2\pi)^{n/2} \sqrt{|\mathbf{\Sigma}|}} \mathrm{exp} \left[ - \frac{1}{2} (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}) \mathbf{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^{\top} \right] } \,}

で与えられる. ただし, 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \boldsymbol{x}^{\top} \,} はベクトル 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \boldsymbol{x} \,} の転置, 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle |\mathbf{\Sigma}| \,} は行列式を表す. 統計学における多変量解析などで中心的な役割を果たす.