自己整合障壁関数

【じこせいごうしょうへきかんすう (self-concordant barrier function)】

以下の条件を満たす開凸領域 $F\subseteq \mathbf {R} ^{n}\,$ 上の実数値関数 $g\,$.

(1) 任意の ${\bar {x}}\in \partial F\,$ に収束する$F\,$ の任意の点列 $\{x^{k}\}\,$ に対し,$k\rightarrow \infty \,$ で $g(x^{k})\rightarrow \infty \,$ となる.

(2) 任意の $x\in F\,$ において, 任意の方向 $h\in \mathbf {R} ^{n}\,$ に対して, 次が成り立つ.

${\begin{array}{l}\displaystyle {\left|\sum _{i,j,k}{\frac {\partial ^{3}g}{\partial x_{i}\partial x_{j}\partial x_{k}}}(x)h_{i}h_{j}h_{k}\right|\leq }\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \displaystyle {2\left|\sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(x)h_{i}h_{j}\right|^{3/2},}\\[1.4em]\displaystyle {\left(\sum _{i}{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}(x)h_{i}\right)^{2}\leq \nu \sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(x)h_{i}h_{j}.}\end{array}}\,$