相補性定理

【そうほせいていり (complementarity slackness theorem)】

線形計画問題

${\begin{array}{llllllll}{\mbox{max.}}&\displaystyle \sum _{j=1}^{n}c_{j}x_{j}&\\{\mbox{s.t.}}&\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\leq b_{i}&(i=1,2,\ldots ,m),\\&x_{j}\geq 0&(j=1,2,\ldots ,n)\end{array}}\,$

の実行可能解 $(x_{1},\ldots ,x_{n})\,$ と双対問題の実行可能解 $(y_{1},\ldots ,y_{m})\,$がそれぞれの問題の最適解であるための必要十分条件は,(1) $\textstyle (c_{j}-\sum _{i=1}^{m}a_{ij}y_{i})x_{j}=0\ (j=1,2,\ldots ,n)\,$, かつ(2)$\textstyle (\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}-b_{i})y_{i}=0\ (i=1,2,\ldots ,m)\,$ が成り立つことである. この主張を相補性定理と呼ぶ.