フェンシェルの双対性

【ふぇんしぇるのそうついせい (Fenchel duality)】

2つの下半連続な真凸関数 $k:{\mathbf {R} }^{n}\to {\bar {\mathbf {R} }}$ と $h:{\mathbf {R} }^{m}\to {\bar {\mathbf {R} }}$, および $A\in {{\mathbf {R} }^{m\times {n}}}$, $b\in {{\mathbf {R} }^{m}}$, $c\in {{\mathbf {R} }^{n}}$ に対して, 次の問題のペアに対して成立する双対性のこと.

${\begin{array}{l}\displaystyle {\min _{x\in {{\mathbf {R} }^{n}}}\;\{c^{T}x+k(x)+h(b-Ax)\},}\\\displaystyle {\max _{y\in {{\mathbf {R} }^{m}}}\;\{b^{T}y-h^{*}(y)-k^{*}(A^{T}y-c)\}}\end{array}}$

ここで, ${}^{*}$ は共役関数を表す. 通常は, 簡略化して目的関数を凸関数 $f_{1}(x)$ と凹関数 $f_{2}(x)$ の差で表した主問題 $\min _{x}\{f_{1}(x)-f_{2}(x)\}$ に対して, $\max _{y}\{f_{2}^{*}(y)-f_{1}^{*}(y)\}$ をフェンシェルの双対問題と呼び, その双対性を指す.