大偏差理論

【だいへんさりろん (large deviation theory)】

次の性質を満たす可測空間$({\mathcal {X}},{\mathcal {B}})\,$上の確率測度の列$\{\mu _{n}\}\,$に関する理論で, 稀な確率事象の漸近解析に使われる. 性質とは, 任意の$\Gamma \in {\mathcal {B}}\,$に対して

${\begin{array}{lll}\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }v(n)^{-1}\log \mu _{n}(\Gamma )&\leq &-\inf _{x\in {\bar {\Gamma }}}I(x),\\\liminf _{n\rightarrow \infty }v(n)^{-1}\log \mu _{n}(\Gamma )&\geq &-\inf _{x\in \Gamma ^{o}}I(x)\end{array}}\,$

である. ここで, $\{v(n)\}\,$は無限大に発散する増加数列, ${\bar {\Gamma }}\,$は$\Gamma \,$の閉包, $\Gamma ^{o}\,$は$\Gamma \,$の開核である. $I(x)\,$はレート関数(rate function)と呼ばれる.