「拡張ラグランジュ関数」の版間の差分
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関数 <math>f:\mathbf{R}^n\times{\mathbf{R}^m}\to [-\infty,+\infty] \,</math> に対して, ラグランジュ関数を拡張した, 次式で定義される2変数関数 <math>\bar{L}:\mathbf{R}^n\times{\mathbf{R}^m}\to [-\infty,+\infty] \,</math> のこと. | 関数 <math>f:\mathbf{R}^n\times{\mathbf{R}^m}\to [-\infty,+\infty] \,</math> に対して, ラグランジュ関数を拡張した, 次式で定義される2変数関数 <math>\bar{L}:\mathbf{R}^n\times{\mathbf{R}^m}\to [-\infty,+\infty] \,</math> のこと. | ||
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\bar{L}(x,y):=\inf_{u\in{\mathbf{R}^m}}\{\, f(x,u)+r\sigma{(u)}-y^{\top}u\,\} | \bar{L}(x,y):=\inf_{u\in{\mathbf{R}^m}}\{\, f(x,u)+r\sigma{(u)}-y^{\top}u\,\} | ||
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ただし, <math>r \,</math> は正定数, <math>\sigma:\mathbf{R}^{m}\rightarrow\bar{\mathbf{R}} \,</math> は <math>u\neq{0} \,</math> に対して <math>0=\sigma{(0)}<\sigma{(u)} \,</math> を満足する下半連続な真凸関数(例えば, <math>\sigma{(u)}:=1/2\|u\|^{2} \,</math> など). 関数 <math>\bar{L} \,</math> を用いると, 非凸計画問題に対して双対性のギャップを解消できる場合がある. | ただし, <math>r \,</math> は正定数, <math>\sigma:\mathbf{R}^{m}\rightarrow\bar{\mathbf{R}} \,</math> は <math>u\neq{0} \,</math> に対して <math>0=\sigma{(0)}<\sigma{(u)} \,</math> を満足する下半連続な真凸関数(例えば, <math>\sigma{(u)}:=1/2\|u\|^{2} \,</math> など). 関数 <math>\bar{L} \,</math> を用いると, 非凸計画問題に対して双対性のギャップを解消できる場合がある. | ||
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2008年11月7日 (金) 15:04時点における最新版
【かくちょうらぐらんじゅかんすう (augmented Lagrangian function)】
関数 に対して, ラグランジュ関数を拡張した, 次式で定義される2変数関数 のこと.
![{\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\times {\mathbf {R} ^{m}}\to [-\infty ,+\infty ]\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb308f986923804b37febe5c69aa79da6d217a94)
![{\displaystyle {\bar {L}}:\mathbf {R} ^{n}\times {\mathbf {R} ^{m}}\to [-\infty ,+\infty ]\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa9baa0107b3aeb2e48f89f8cf92406c46ff02c)
ただし, は正定数, は に対して を満足する下半連続な真凸関数(例えば, など). 関数 を用いると, 非凸計画問題に対して双対性のギャップを解消できる場合がある.
