一般化ニュートン法

【いっぱんかにゅーとんほう (generalized Newton method)】

滑らかでないベクトル値関数 $F:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n}\,$ に対して方程式 $F(x)=0\,$ を解く場合, 一般化ニュートン法が提案されている. 例えば, $F\,$ が局所リプシッツ(Lipschitz)連続ならば点 $x\,$ における $F\,$ の一般化ヤコビ行列の1つとして

$\partial F(x):={\mbox{co}}\left\{\lim _{x_{i}\to x,\ x_{i}\in D_{F}}\nabla F(x_{i})\right\}\ \ \,$

${\Bigl (}\,$

$D_{F}\,$ は $F(x)\,$が微分可能な点の集合, $\mathrm {co} \,$ は集合の凸包を表す

${\Bigr )}\,$

が定義され, 一般化ニュートン法の反復式は次式で与えられる.

$x_{k+1}:=x_{k}-J_{k}^{-1}F(x_{k}),\qquad J_{k}\in \partial F(x_{k})\,$