「伊藤の補題」の版間の差分

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拡散過程$X_t$の微小時間d$t$での平均が$\mu (t, X_t) {\mbox{d}}t$, 分散が$\sigma^2 (t,X_t) {\mbox{d}}t$で与えられるとき, 確率微分方程式では${\mbox{d}}X_t=\mu(t,X_t){\mbox{d}}t +\sigma (t,X_t) {\mbox{d}}B_t$と表現する. ここで$B_t$はブラウン運動である. さらに$Y_t=g(t,X_t)$と変換すると, $Y_t$は伊藤の補題により,
 
  
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$ \mbox{d}Y_t = g_t(t, X_t) \mbox{d}t + g_x(t, X_t) \mbox{d}X_t
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拡散過程<math>X_t \,</math>の微小時間<math>dt \,</math>での平均が<math>\mu (t, X_t) {\mbox{d}}t \,</math>, 分散が<math>\sigma^2 (t,X_t) {\mbox{d}}t \,</math>で与えられるとき, 確率微分方程式では
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+ (1/2)g_{xx}(t, X_t)(\mbox{d} X_t)^2 $
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<math>{\mbox{d}}X_t=\mu(t,X_t){\mbox{d}}t +\sigma (t,X_t) {\mbox{d}}B_t \,</math>
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と表現する. ここで<math>B_t \,</math>はブラウン運動である. さらに<math>Y_t=g(t,X_t) \,</math>と変換すると, <math>Y_t \,</math>は伊藤の補題により,
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<math> \mbox{d}Y_t = g_t(t, X_t) \mbox{d}t + g_x(t, X_t) \mbox{d}X_t  
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+ (1/2)g_{xx}(t, X_t)(\mbox{d} X_t)^2 \,</math>
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を満たす.  
 
を満たす.  
  
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ただし$({\mbox{d}}X_t)^2$は, 計算規則
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ただし<math>({\mbox{d}}X_t)^2 \,</math>は, 計算規則  
  
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$ {\mbox{d}}t \cdot {\mbox{d}}t = {\mbox{d}}t \cdot {\mbox{d}}B_t =  
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{\mbox{d}}B_t \cdot {\mbox{d}}t = 0, \ \ {\mbox{d}}B_t  
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<math> {\mbox{d}}t \cdot {\mbox{d}}t = {\mbox{d}}t \cdot {\mbox{d}}B_t = {\mbox{d}}B_t \cdot {\mbox{d}}t = 0, \ \ {\mbox{d}}B_t \cdot {\mbox{d}}B_t={\mbox{d}}t \,</math>
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\cdot {\mbox{d}}B_t={\mbox{d}}t$
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により与えられる.
 
により与えられる.

2007年9月28日 (金) 23:18時点における最新版

【いとうのほだい (Itô's lemma)】


拡散過程の微小時間での平均が, 分散がで与えられるとき, 確率微分方程式では

と表現する. ここではブラウン運動である. さらにと変換すると, は伊藤の補題により,

を満たす.

ただしは, 計算規則

により与えられる.

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