「一般化ニュートン法」の版間の差分

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'''【いっぱんかにゅーとんほう (generalized Newton method)】'''
 
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滑らかでないベクトル値関数 $F: \mbox{{\bf R}}^n\to \mbox{{\bf R}}^n$ に対して方程式 $F(x)=0$ を解く場合, 一般化ニュートン法が提案されている. 例えば, $F$ が局所リプシッツ(Lipschitz)連続ならば点 $x$ における $F$ の一般化ヤコビ行列の1つとして
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滑らかでないベクトル値関数 <math>F: \mathbf{R}^n\to \mathbf{R}^n \,</math> に対して方程式 <math>F(x)=0 \,</math> を解く場合, 一般化ニュートン法が提案されている. 例えば, <math>F \,</math> が局所リプシッツ(Lipschitz)連続ならば点 <math>x \,</math> における <math>F \,</math> の一般化ヤコビ行列の1つとして
  
  
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\[
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<center>
 +
<table><tr>
 +
<td>
 +
<math>
 
\partial F(x) := \mbox{co} \left\{ \lim_{x_i\to x,\ x_i\in D_F}  
 
\partial F(x) := \mbox{co} \left\{ \lim_{x_i\to x,\ x_i\in D_F}  
 
\nabla F(x_i) \right\}\ \  
 
\nabla F(x_i) \right\}\ \  
−
\]
+
\,</math>
−
\[
+
</td>
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\left(  
+
</tr>
−
\begin{array}{l} D_F\ は F(x) が微分可能な点の集合, \\
+
</table>
−
          \rm{co} は集合の凸包を表す \end{array}\right)
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<table>
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\]
+
<tr>
 +
<td rowspan="2">
 +
<math>\Bigl( \,</math>
 +
</td>
 +
<td>
 +
<table>
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<tr><td><math>D_F \,</math> は <math>F(x) \,</math>が微分可能な点の集合, </td></tr>
 +
<tr><td><math>\mathrm{co} \,</math> は集合の凸包を表す</td></tr>
 +
</table>
 +
</td>
 +
<td>
 +
<math>\Bigr) \,</math>
 +
</td>
 +
</tr></table>
 +
</center>
  
  
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−
\[
+
<center>
 +
<math>
 
     x_{k+1} := x_k - J_k^{-1}F(x_k), \qquad  
 
     x_{k+1} := x_k - J_k^{-1}F(x_k), \qquad  
 
     J_k \in \partial F(x_k)
 
     J_k \in \partial F(x_k)
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\]
+
\, </math>
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</center>
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[[Category:非線形計画|いっぱんかにゅーとんほう]]

2008年11月7日 (金) 14:21時点における最新版

【いっぱんかにゅーとんほう (generalized Newton method)】

滑らかでないベクトル値関数 に対して方程式 を解く場合, 一般化ニュートン法が提案されている. 例えば, が局所リプシッツ(Lipschitz)連続ならば点 における の一般化ヤコビ行列の1つとして


は が微分可能な点の集合,
は集合の凸包を表す


が定義され, 一般化ニュートン法の反復式は次式で与えられる.


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