「巡回セールスマン問題」の版間の差分

2008年3月13日 (木) 23:07時点における版

【じゅんかいせーるすまんもんだい (traveling salesman problem (TSP))】

概要

枝に重みを与えたグラフ $G\,$ において, すべての点を丁度1度ずつ訪問して元に戻る巡回路(ハミルトン閉路)のうち, 総重みを最小にするものを求める問題. グラフの枝が有向であるか無向であるかで大別する. 平面上(あるいは空間内)の $n\,$ 点と各点の間の距離が与えられたとき, すべての点を訪問する順回路のうち最短のものを求める問題, と定義されることもある. 代表的な組合せ最適化問題の1つ.

詳説

　点集合 $V\,$ ，枝集合 $E\,$ から構成されるグラフ $G=(V,E)\,$ , 枝 $(i,j)\in E\,$ 上の距離 $d_{ij}\,$ が与えられたとき，点集合 $V\,$ のすべての点をちょうど1回ずつ経由する巡回路（ハミルトン閉路）で，枝の距離の合計を最小にするものを求める問題を巡回セールスマン問題 (traveling salesman problem) （行商人問題）とよぶ．

　特に，距離の対称性（ $d_{ij}=d_{ji}\,$ ）を満たすものを対称巡回セールスマン問題，三角不等式（ $d_{ij}\leq d_{ik}+d_{kj}\,$ ）を満たすものを三角不等式を満たす巡回セールスマン問題，点集合が $d\,$ 次元超立方体 $[0,1]^{d}\,$ 内に分布しており， $2\,$ 点間の距離が点間のユークリッド距離で定義されたものをユークリッド巡回セールスマン問題 (Euclidean (Euclidian) traveling salesman problem) とよぶ．

　巡回セールスマン問題に対する応用は，数百点を扱う基盤配線，運搬経路計画，スケジューリング，数万点を扱う基盤穿孔，X線結晶構造解析 (タンパク質の構造解析)，数百万点を扱うVLSI設計など，さまざまである．また，次世代のVLSI設計においては，数千万点の問題を解く必要があると言われている．

　巡回セールスマン問題は，NP困難 (NP-hard) であり, 多項式時間の厳密解法が絶望視されているばかりでなく，近似比が一定値 $\alpha (<\infty )\,$ で抑えられる多項式時間の近似解法さえ ${\rm {P}}\neq {\rm {NP}}\,$ のもとでは存在しないことが示されている．

　三角不等式を満たす対称巡回セールスマン問題に対しては，近似比が $3/2\,$ 以下の保証をもつ多項式時間の近似解法が知られている．また， $d\,$ を定数としたときの $d\,$ 次元ユークリッド巡回セールスマン問題に対しては，固定された $\epsilon >0\,$ を与えたときに，近似比が $1+\epsilon \,$ 以下に抑えられる多項式時間の近似解法（近似スキーム）が存在する．

　実用的な近似解法としては，最近近傍法 (nearest neighbor method) やセービング法 (saving method) によって構築された巡回路をk-opt法 ( $k\,$ -opt)で改善する方法が一般的である．厳密解法としては，巡回セールスマン問題の多面体構造（TSP多面体(TSP polytope)）を利用した分枝カット法 (branch and cut method) が有効であり，実務的な大規模問題の求解に成功している．

参考文献

[1] 山本芳嗣, 久保幹雄,『巡回セールスマン問題への招待』, 朝倉書店，1997.

@@ 1行目: / 1行目: @@
 '''【じゅんかいせーるすまんもんだい (traveling salesman problem (TSP))】'''
+=== 概要 ===
 枝に重みを与えたグラフ<math>G\,</math>において, すべての点を丁度1度ずつ訪問して元に戻る巡回路(ハミルトン閉路)のうち, 総重みを最小にするものを求める問題. グラフの枝が有向であるか無向であるかで大別する. 平面上(あるいは空間内)の<math>n\,</math>点と各点の間の距離が与えられたとき, すべての点を訪問する順回路のうち最短のものを求める問題, と定義されることもある. 代表的な組合せ最適化問題の1つ.
-詳しくは[[《巡回セールスマン問題》|基礎編：巡回セールスマン問題]]を参照.
+=== 詳説 ===
+　点集合 <math>V\, </math>，枝集合 <math>E\, </math> から構成されるグラフ <math>G=(V,E)\, </math>, 枝 <math>(i,j) \in E\, </math> 上の距離 <math>d_{ij}\, </math> が与えられたとき，点集合 <math>V\, </math> のすべての点をちょうど1回ずつ経由する巡回路（ハミルトン閉路）で，枝の距離の合計を最小にするものを求める問題を[[巡回セールスマン問題]] (traveling salesman problem) （行商人問題）とよぶ．
+　特に，距離の対称性（<math>d_{ij}=d_{ji}\, </math>）を満たすものを対称巡回セールスマン問題，三角不等式（<math>d_{ij} \leq d_{ik} + d_{kj}\, </math>）を満たすものを三角不等式を満たす巡回セールスマン問題，点集合が <math>d\, </math> 次元超立方体 <math>[0,1]^d\, </math> 内に分布しており，<math>2\, </math> 点間の距離が点間のユークリッド距離で定義されたものを[[ユークリッド巡回セールスマン問題]] (Euclidean (Euclidian) traveling salesman problem) とよぶ．
+　巡回セールスマン問題に対する応用は，数百点を扱う基盤配線，運搬経路計画，スケジューリング，数万点を扱う基盤穿孔，X線結晶構造解析 (タンパク質の構造解析)，数百万点を扱うVLSI設計など，さまざまである．また，次世代のVLSI設計においては，数千万点の問題を解く必要があると言われている．
+　巡回セールスマン問題は，[[NP困難]] (NP-hard) であり, 多項式時間の厳密解法が絶望視されているばかりでなく，近似比が 一定値<math>\alpha (<\infty)\, </math> で抑えられる多項式時間の近似解法さえ<math>{\rm P} \neq {\rm NP}\, </math> のもとでは存在しないことが示されている．
+　三角不等式を満たす対称巡回セールスマン問題に対しては，近似比が <math>3/2\, </math> 以下の保証をもつ多項式時間の近似解法が知られている．また，<math>d\, </math> を定数としたときの <math>d\, </math> 次元ユークリッド巡回セールスマン問題に対しては，固定された <math>\epsilon >0\, </math> を与えたときに，近似比が <math>1+\epsilon\, </math> 以下に抑えられる多項式時間の近似解法（近似スキーム）が存在する．
+　実用的な近似解法としては，[[最近近傍法]] (nearest neighbor method) や[[セービング法]] (saving method) によって構築された巡回路を[[k-opt法 (巡回セールスマン問題の)|k-opt法]] (<math>k\, </math>-opt)で改善する方法が一般的である．厳密解法としては，巡回セールスマン問題の多面体構造（[[TSP多面体]](TSP polytope)）を利用した[[分枝カット法]] (branch and cut method) が有効であり，実務的な大規模問題の求解に成功している．
+----
+'''参考文献'''
+[1] 山本芳嗣, 久保幹雄,『巡回セールスマン問題への招待』, 朝倉書店，1997.
+[[Category:グラフ･ネットワーク|じゅんかいせーるすまんもんだい]]

「巡回セールスマン問題」の版間の差分

2008年3月13日 (木) 23:07時点における版

概要

詳説

案内メニュー

検索