特性関数 (確率変数の)

【とくせいかんすう (characteristic function)】

確率分布関数 $F(x)\,$ をもつ分布, あるいは確率変数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X\,} に対して, $\textstyle \phi (t)=\mathrm {E} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} tX})=\int \mathrm {e} ^{\mathrm {i} tx}\mathrm {d} F(x)\,$ で定義される関数. ただし, 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle t\,} は実数パラメータ, 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathrm{i}\,} は虚数単位. 特性関数は確率分布関数と1対1で対応しており, また特性関数の $j\,$ 次の微分係数から 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle j\,} 次モーメントを求めることができる. 確率変数の和の分布の導出や, 確率分布列の収束等の証明にも利用される.