凸関数

【とつかんすう (convex function)】

空間 ${\mathbf {R} }^{n}\,$ 上で定義された拡張実数値関数 $f:{\mathbf {R} }^{n}\to [-\infty ,+\infty ]\,$ で, そのエピグラフ${\mbox{epi}}\,f:=\{(x,\mu )\in {\mathbf {R} }^{n+1}\,|\,f(x)\leq \mu \}\,$ が凸集合であるようなもの. 特に, $f(x)=-\infty \,$ となる点 $x\,$ が存在せず, さらに恒等的に $f(x)\equiv +\infty \,$ ではないようなものを真凸関数という. 真凸関数は様々の好ましい性質をもち, 最適化問題に現れる最も基本的な関数のクラスを構成する. 凸関数に関しては, 凸解析と呼ばれる美しい理論体系が整備されている.