【いとうのほだい (Itôs lemma)】
拡散過程 X t {\displaystyle X_{t}\,} の微小時間 d t {\displaystyle dt\,} での平均が μ ( t , X t ) d t {\displaystyle \mu (t,X_{t}){\mbox{d}}t\,} , 分散が σ 2 ( t , X t ) d t {\displaystyle \sigma ^{2}(t,X_{t}){\mbox{d}}t\,} で与えられるとき, 確率微分方程式では d X t = μ ( t , X t ) d t + σ ( t , X t ) d B t {\displaystyle {\mbox{d}}X_{t}=\mu (t,X_{t}){\mbox{d}}t+\sigma (t,X_{t}){\mbox{d}}B_{t}\,} と表現する. ここで B t {\displaystyle B_{t}\,} はブラウン運動である. さらに Y t = g ( t , X t ) {\displaystyle Y_{t}=g(t,X_{t})\,} と変換すると, Y t {\displaystyle Y_{t}\,} は伊藤の補題により,
d Y t = g t ( t , X t ) d t + g x ( t , X t ) d X t + ( 1 / 2 ) g x x ( t , X t ) ( d X t ) 2 {\displaystyle {\mbox{d}}Y_{t}=g_{t}(t,X_{t}){\mbox{d}}t+g_{x}(t,X_{t}){\mbox{d}}X_{t}+(1/2)g_{xx}(t,X_{t})({\mbox{d}}X_{t})^{2}\,} を満たす.
ただし ( d X t ) 2 {\displaystyle ({\mbox{d}}X_{t})^{2}\,} は, 計算規則
d t ⋅ d t = d t ⋅ d B t = d B t ⋅ d t = 0 , d B t ⋅ d B t = d t {\displaystyle {\mbox{d}}t\cdot {\mbox{d}}t={\mbox{d}}t\cdot {\mbox{d}}B_{t}={\mbox{d}}B_{t}\cdot {\mbox{d}}t=0,\ \ {\mbox{d}}B_{t}\cdot {\mbox{d}}B_{t}={\mbox{d}}t\,}
により与えられる.
の微小時間
での平均が
, 分散が
で与えられるとき, 確率微分方程式では
と表現する. ここで
はブラウン運動である. さらに
と変換すると, 
は伊藤の補題により,
を満たす.
は, 計算規則
