ガウス・ザイデル法

【がうすざいでるほう (Gauss-Seidel method)】

(線形)方程式系を数値的に解くための反復法の1つ. 例えば, $n\,$ 次元ベクトル ${\boldsymbol {b}}=(b_{1},\ldots ,b_{n})\,$ と $n\,$ 次の正方行列 ${\boldsymbol {A}}=(a_{ij})\,$ に対して, ${\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {x}}{\boldsymbol {A}}\,$ を満たす${\boldsymbol {x}}=(x_{1},\ldots ,x_{n})\,$ を求める場合, 適当な ${\boldsymbol {x}}^{(0)}=(x_{1}^{(0)},\ldots ,x_{n}^{(0)})\,$ から始めて

${\begin{array}{r}\displaystyle {x_{j}^{(k)}={\frac {b_{j}-\sum _{i=1}^{j-1}x_{i}^{(k)}a_{ij}-\sum _{i=j+1}^{n}x_{i}^{(k-1)}a_{ij}}{a_{jj}}},}\\j=1,\ldots ,n\qquad \end{array}}\,$

によって順次 ${\boldsymbol {x}}^{(k)}=(x_{1}^{(k)},\ldots ,x_{n}^{(k)})\,$ を生成し, 収束した時点で ${\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {x}}^{(k)}\,$ とする.