「フェンシェル型双対定理」の版間の差分
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'''【ふぇんしぇるがたそうついていり (Fenchel-type duality theorem)】''' | '''【ふぇんしぇるがたそうついていり (Fenchel-type duality theorem)】''' | ||
| − | フェンシェル(フェンケル)型双対定理とは, 一般に, 「凸関数」と「凹関数」の組$<math>(f,g)</math>$とそれらの共役関数の組$<math>(f | + | フェンシェル(フェンケル)型双対定理とは, 一般に, 「凸関数」と「凹関数」の組$<math>(f,g)</math>$とそれらの共役関数の組$<math>(f^{\bullet}, g^{\circ})</math>$の間に成り立つ最大最小定理を意味する. 例えば, $<math>\langle p, x \rangle = \sum_{i=1}^{n}p_{i}x_{i}</math>$として, 以下の形の主張となる. <br><br><center> |
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| − | <tr><td | + | <tr><td>\begin{array}{l} |
| − | \inf\{ f(x) - g(x) \mid x \in {\bf Z} | + | \inf\{ f(x) - g(x) \mid x \in {\bf Z}¥sp{n} \} = \\ |
\hspace*{10mm} \sup\{ g\sp{\circ}(p) - f\sp{\bullet}(p) | \hspace*{10mm} \sup\{ g\sp{\circ}(p) - f\sp{\bullet}(p) | ||
\mid p \in {\bf Z}\sp{n} \} , \\ | \mid p \in {\bf Z}\sp{n} \} , \\ | ||
f\sp{\bullet}(p) | f\sp{\bullet}(p) | ||
= \sup\{ \langle p, x \rangle - f(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n} \} | = \sup\{ \langle p, x \rangle - f(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n} \} | ||
| − | + | : ( p \in {\bf Z}\sp{n}) , | |
| − | + | g¥sp{¥circ}(p) | |
= \inf\{ \langle p, x \rangle - g(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n} \} | = \inf\{ \langle p, x \rangle - g(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n} \} | ||
\: ( p \in {\bf Z}\sp{n}) . | \: ( p \in {\bf Z}\sp{n}) . | ||
| − | \end{array} | + | \end{array} |
</td></tr> | </td></tr> | ||
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2007年7月13日 (金) 16:53時点における版
【ふぇんしぇるがたそうついていり (Fenchel-type duality theorem)】
フェンシェル(フェンケル)型双対定理とは, 一般に, 「凸関数」と「凹関数」の組$$とそれらの共役関数の組$$の間に成り立つ最大最小定理を意味する. 例えば, $$として, 以下の形の主張となる.
\begin{array}{l}
\inf\{ f(x) - g(x) \mid x \in {\bf Z}¥sp{n} \} = \\
\hspace*{10mm} \sup\{ g\sp{\circ}(p) - f\sp{\bullet}(p)
\mid p \in {\bf Z}\sp{n} \} , \\
f\sp{\bullet}(p)
= \sup\{ \langle p, x \rangle - f(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n} \}
: ( p \in {\bf Z}\sp{n}) ,
g¥sp{¥circ}(p)
= \inf\{ \langle p, x \rangle - g(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n} \}
\: ( p \in {\bf Z}\sp{n}) .
\end{array} |