《AHP整合性尺度》

【えーえいちぴーせいごうせいしゃくど (AHP consistency measure) 】

　AHPにおいて, 意思決定者が行なった一対比較が首尾一貫しているかどうかを判定する尺度として, 整合度 (consistency index : C. I.), ランダム整合度 (random index : R. I.), 整合比 (consistency ratio : C. R.)がある.

　意思決定者に対して, 「要素$i$は要素$j$に比べてどのくらい重要ですか」というように一対比較を行なってもらった結果を数値化したものが一対比較値であり, その値を$$a_{ij}\,\,$$と表す.そして, 一対比較する要素は$$n\,\,$$個あるものとする.

　この一対比較値$$a_{ij}\,\,$$を行列形式で表したものが一対比較行列$ 構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \mbox{\boldmath $A$}$\, \, } であり, 次のような$$n\times n\,\,$$の正方行列となる.

\mbox{\boldmath $A$}=\left[ \begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right]

　実際の状況が複雑になればなるほど意思決定者の答えである一対比較が首尾一貫しなくなる.すなわち, 一対比較による判断が整合しなくなる.より具体的に表現するならば, 「要素$$i\,\,$$よりも要素$$j\,\,$$が望ましく, 要素$$j\,\,$$よりも要素$k$が望ましい」ならば, 「要素$$i\,\,$$よりも要素$$k\,\,$$が望ましい」と言えることであり,厳密には「すべての$i$, $$j\,\,$$, $$k\,\,$$に対して$$a_{ik}=a_{ij}\cdot a_{jk}\,\,$$が成立する」 というような推移率が成立するときに, 一対比較行列$ 構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \mbox{\boldmath $A$}$\, \, } は"整合性がある"という. 心理学の実験によれば, 一対比較の要素数$$n\,\,$$が7～9くらいまでであれば, かなり整合的に比較判断できるが, この値を越えると一対比較が非常に難しくなると言われている [2, 3].

一対比較行列$ 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{\boldmath $A$}\, \, }
$が完全な整合性をもつ場合には, 行列 $構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle  \mbox{\boldmath $A$}\, \, }
$ の最大固有値 $構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lambda_{\rm max}\, \, }
$ は$$\lambda _{\rm {max}}=n\,\,$$となり, それ以外の場合には, $構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lambda_{\rm max}>n\, \, }
$となる. また, 一般に一対比較行列 $構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle  \mbox{\boldmath $A$}\, \, }
$ は$構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n\, \, }
$次正方行列であることから, $$n\,\,$$個の固有値 $$\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}\,\,$$が存在し, その和はトレース (trace)の定義より, 行列 $ 構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \mbox{\boldmath $A$}\, \, }
$ の$$n\,\,$$個の対角要素の和に等しく, $$n\,\,$$となる.すなわち,

構文解析に失敗 (不明な関数「\begin{array}」): {\displaystyle \begin{array}{rcl}\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n & = & a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}\, \, }

構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle & = & n\, \, }

となる.したがって, $構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lambda_{\rm max}-n\, \, } $は $$\lambda _{\rm {max}}\,\,$$以外の($$n-1\,\,$$)個の固有値の大きさを表す指標と見ることができ, 1個当りの平均は

${\rm {C.I.}}={\frac {\lambda _{\rm {max}}-n}{n-1}}\,\,$

となり, この指標が整合度 (C. I.)である.一対比較行列$構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \mbox{\boldmath $A$}\, \, } $が完全な整合性をもつ場合にはこの値は0であり, 値が大きくなるほど,不整合性は高いとみる.ただし, SaatyはC. I. の値が0.1(場合によっては0.15)以下であれば合格とすることを経験則により提案している [1].

　さらにまた, 整合性を判定する尺度として, 一対比較する要素数$$n\,\,$$(一対比較行列のサイズ)が同じで, ランダムに作った行列を考え, その行列の整合度と比べる方法がある.対角要素はすべて1, 他の要素は $$1/9,1/8,\ldots ,1/2,1,2,\ldots ,8,9\,\,$$ のいずれかをランダムにとり, 対角線に関して対称な位置にある要素は逆数関係があるような行列を多数作成し, それらの整合度の平均を求めたものが, ランダム整合度 (R.I.)である.ランダム整合度の値は, 既にSaatyが各$n$に対し, それぞれ500個ずつのランダムな行列について実験で求めており, 次の通りである.

表: 1ランダム整合度 (R.I

\begin{tabular}{|c|c@{\,\,}c@{\,\,}c@{\,\,}c@{\,\,}c@{\,\,}c@{\,\,}c@{\,\,}c@{\,\,}c@{\,\,}c@{\,\,}c@{\,\,}c|} \hline $n$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline R.I. & 0.00 & 0.00 & 0.58 & 0.90 & 1.12 & 1.24 & 1.32 & 1.41 & 1.45 & 1.49 & 1.5 1 & 1.53 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{table}

C. I. の値とR. I. の値の比は,

${\rm {C.R.}}={\frac {\rm {C.I.}}{\rm {R.I.}}}\,\,$

となり, この指標が整合比 (C. R.)である. C. R. の値もC. I. の値と同様に, 0.1(場合によっては0.15)以下であれば合格と判定する.

　もし, 一対比較行列$構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{\boldmath A}\, \, } $の整合性が悪い場合には, 一対比較の値を再検討する必要がある. なぜならば, このような場合には重要度の数値自体が信頼性に欠けるからである.

　なお, これらの詳しい記述や様々な証明などは, 文献 [1, 2, 3, 4] にあるので参照されたい.

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参考文献

[1] 木下栄蔵, 『意思決定入門』, 啓学出版, 1992.

[2] 森雅夫, 宮沢政清, 生田誠三, 森戸晋, 山田善靖, 『オペレーションズリサーチII -意思決定モデル-』, 朝倉書店, 1989.

[3] 刀根薫, 『ゲーム感覚意思決定法 -AHP入門』, 日科技連, 1986.

[4] 刀根薫, 眞鍋龍太郎 編集, 『AHP事例集』, 日科技連, 1990.