「拡張ラグランジュ関数」の版間の差分

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'''【かくちょうらぐらんじゅかんすう (augmented Lagrangian function)】'''
 
'''【かくちょうらぐらんじゅかんすう (augmented Lagrangian function)】'''
  
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関数 $f:\mbox{{\bf R}}^n\times{\mbox{{\bf R}}^m}\to [-\infty,+\infty]$ に対して, ラグランジュ関数を拡張した, 次式で定義される2変数関数 $\bar{L}:\mbox{{\bf R}}^n\times{\mbox{{\bf R}}^m}\to [-\infty,+\infty]$ のこと.  
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関数 <math>f:\mathbf{R}^n\times{\mathbf{R}^m}\to [-\infty,+\infty] \,</math> に対して, ラグランジュ関数を拡張した, 次式で定義される2変数関数 <math>\bar{L}:\mathbf{R}^n\times{\mathbf{R}^m}\to [-\infty,+\infty] \,</math> のこと.  
  
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<!-- \bar{L}(x,y):=\inf_{u\in{\mbox{{\bf R}}^m}}\{\, f(x,u)+r\sigma{(u)}-y^{T}u\,\} -->
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% \bar{L}(x,y):=\inf_{u\in{\mbox{{\bf R}}^m}}\{\, f(x,u)+r\sigma{(u)}-y^{T}u\,\}
 
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\bar{L}(x,y):=\inf_{u\in{\mbox{{\bf R}}^m}}\{\, f(x,u)+r\sigma{(u)}-y^{\top}u\,\}
 
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\]
 
  
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<math>
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\bar{L}(x,y):=\inf_{u\in{\mathbf{R}^m}}\{\, f(x,u)+r\sigma{(u)}-y^{\top}u\,\}
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\,</math>
  
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ただし, $r$ は正定数, $\sigma:\mbox{{\bf R}}^{m}\rightarrow\bar{\mbox{{\bf R}}}$ は $u\neq{0}$ に対して $0=\sigma{(0)}<\sigma{(u)}$ を満足する下半連続な真凸関数(例えば, $\sigma{(u)}:=1/2\|u\|^{2}$ など). 関数 $\bar{L}$ を用いると, 非凸計画問題に対して双対性のギャップを解消できる場合がある.
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ただし, <math>r \,</math> は正定数, <math>\sigma:\mathbf{R}^{m}\rightarrow\bar{\mathbf{R}} \,</math> は <math>u\neq{0} \,</math> に対して <math>0=\sigma{(0)}<\sigma{(u)} \,</math> を満足する下半連続な真凸関数(例えば, <math>\sigma{(u)}:=1/2\|u\|^{2} \,</math> など). 関数 <math>\bar{L} \,</math> を用いると, 非凸計画問題に対して双対性のギャップを解消できる場合がある.

2007年7月11日 (水) 20:37時点における版

【かくちょうらぐらんじゅかんすう (augmented Lagrangian function)】

関数 に対して, ラグランジュ関数を拡張した, 次式で定義される2変数関数 のこと.



ただし, は正定数, は に対して を満足する下半連続な真凸関数(例えば, など). 関数 を用いると, 非凸計画問題に対して双対性のギャップを解消できる場合がある.

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