「フェンシェル型双対定理」の版間の差分

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【ふぇんしぇるがたそうついていり (Fenchel-type duality theorem)】
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'''【ふぇんしぇるがたそうついていり (Fenchel-type duality theorem)】'''
  
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フェンシェル(フェンケル)型双対定理とは, 一般に, 「凸関数」と「凹関数」の組$(f,g)$とそれらの共役関数の組$(f\sp{\bullet}, g\sp{\circ})$の間に成り立つ最大最小定理を意味する. 例えば, $\langle p, x \rangle = \sum_{i=1}\sp{n}p_{i}x_{i}$として, 以下の形の主張となる.  
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フェンシェル(フェンケル)型双対定理とは, 一般に, 「凸関数」と「凹関数」の組<math>(f,g)</math>とそれらの共役関数の組<math>(f^{\bullet}, g^{\circ})</math>の間に成り立つ最大最小定理を意味する. 例えば, <math>\textstyle \langle p, x \rangle = \sum_{i=1}^{n}p_{i}x_{i}</math>として, 以下の形の主張となる. <br><br>
  
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\[
+
 
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\begin{array}{l}
+
<center>
−
  \inf\{ f(x) - g(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n}  \} = \\
+
<table　align = center>
−
  \hspace*{10mm} \sup\{ g\sp{\circ}(p) - f\sp{\bullet}(p)  
+
<tr><td>
−
  \mid   p \in {\bf Z}\sp{n} \} , \\
+
<math>\mbox{inf} \{ f(x) - g(x) \mid x \in {\mathbf Z} \} ^{n} =</math><br>
−
f\sp{\bullet}(p)  
+
::<math>\mbox{sup} \{ g^{\circ}(p) - f^{\bullet}(p) \mid p \in {\mathbf Z}^{n} \} ,</math><br>
−
= \sup\{ \langle p, x \rangle - f(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n} \}
+
<math>f^{\bullet}(p) = \mbox{sup} \{\langle p, x \rangle - f(x) \mid x \in {\mathbf Z}^{n} \} : ( p \in {\mathbf Z}^{n}) ,</math><br>
−
\: ( p \in {\bf Z}\sp{n}) , \\
+
<math>g^{\circ}(p) = \mbox{inf} \{\langle p, x \rangle - g(x) \mid x \in {\mathbf Z}^{n} \} : ( p \in {\mathbf Z}^{n}) .</math><br>
−
g\sp{\circ}(p)  
+
</td></tr>
−
= \inf\{ \langle p, x \rangle - g(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n} \}
+
</table></center>
−
\: ( p \in {\bf Z}\sp{n}) .
+
<br>
−
\end{array}
+
 
−
\]
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[[Category:グラフ･ネットワーク|ふぇんしぇるがたそうついていり]]

2008年11月13日 (木) 15:32時点における最新版

【ふぇんしぇるがたそうついていり (Fenchel-type duality theorem)】

フェンシェル(フェンケル)型双対定理とは, 一般に, 「凸関数」と「凹関数」の組とそれらの共役関数の組の間に成り立つ最大最小定理を意味する. 例えば, として, 以下の形の主張となる.


<table　align = center>






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