「多次元正規分布」の版間の差分
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'''【たじげんせいきぶんぷ (multivariate normal distribution)】''' | '''【たじげんせいきぶんぷ (multivariate normal distribution)】''' | ||
| − | 代表的な多次元分布. 平均ベクトルを <math>\ | + | 代表的な多次元分布. 平均ベクトルを <math>\boldsymbol{\mu} =(\mathrm{E}(X_1), \ldots, \mathrm{E}(X_n)) \,</math>, (分散)共分散行列を <math>\mathbf{\Sigma}=(\mathrm{Cov}(X_i,X_j))_{i,j=1,\ldots,n} \,</math> とすると, <math>n \,</math> 次の多次元正規分布の確率密度関数は <math>\boldsymbol{x}=(x_1,\cdots,x_n) \,</math> として |
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<math> | <math> | ||
| − | f(\ | + | f(\boldsymbol{x})= |
\displaystyle{\frac{1}{(2\pi)^{n/2} \sqrt{|\mathbf{\Sigma}|}} \mathrm{exp} | \displaystyle{\frac{1}{(2\pi)^{n/2} \sqrt{|\mathbf{\Sigma}|}} \mathrm{exp} | ||
\left[ - \frac{1}{2} | \left[ - \frac{1}{2} | ||
| − | (\ | + | (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}) \mathbf{\Sigma}^{-1} |
| − | (\ | + | (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^{\top} \right] } |
\,</math> | \,</math> | ||
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| + | で与えられる. ただし, <math>\boldsymbol{x}^{\top} \,</math> はベクトル <math>\boldsymbol{x} \,</math> の転置, <math>|\mathbf{\Sigma}| \,</math> は行列式を表す. 統計学における多変量解析などで中心的な役割を果たす. | ||
| − | + | [[category:確率と確率過程|たじげんせいきぶんぷ]] | |
2008年11月12日 (水) 15:27時点における最新版
【たじげんせいきぶんぷ (multivariate normal distribution)】
代表的な多次元分布. 平均ベクトルを , (分散)共分散行列を とすると, 次の多次元正規分布の確率密度関数は として
![{\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=\displaystyle {{\frac {1}{(2\pi )^{n/2}{\sqrt {|\mathbf {\Sigma } |}}}}\mathrm {exp} \left[-{\frac {1}{2}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }})\mathbf {\Sigma } ^{-1}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }})^{\top }\right]}\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec280bf445327010971213fe19d872e8f064773)
で与えられる. ただし, はベクトル の転置, は行列式を表す. 統計学における多変量解析などで中心的な役割を果たす.
