拡張ラグランジュ関数

【かくちょうらぐらんじゅかんすう (augmented Lagrangian function)】

関数 $f:\mathbf {R} ^{n}\times {\mathbf {R} ^{m}}\to [-\infty ,+\infty ]\,$ に対して, ラグランジュ関数を拡張した, 次式で定義される2変数関数 ${\bar {L}}:\mathbf {R} ^{n}\times {\mathbf {R} ^{m}}\to [-\infty ,+\infty ]\,$ のこと.

${\bar {L}}(x,y):=\inf _{u\in {\mathbf {R} ^{m}}}\{\,f(x,u)+r\sigma {(u)}-y^{\top }u\,\}\,$

ただし, $r\,$ は正定数, $\sigma :\mathbf {R} ^{m}\rightarrow {\bar {\mathbf {R} }}\,$ は $u\neq {0}\,$ に対して $0=\sigma {(0)}<\sigma {(u)}\,$ を満足する下半連続な真凸関数(例えば, $\sigma {(u)}:=1/2\|u\|^{2}\,$ など). 関数 ${\bar {L}}\,$ を用いると, 非凸計画問題に対して双対性のギャップを解消できる場合がある.