Perron-Frobenius定理 - 版の履歴

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2008-11-13T12:42:03Z

2007年9月20日 (木) 12:16にSaruによる

2007-09-20T12:16:03Z

2007年9月19日 (水) 14:15にSaruによる

2007-09-19T14:15:37Z

2007年8月14日 (火) 12:05にTetsuyatominagaによる

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'''【ペロン-フロベニウスていり(Perron-Frobenius Theorem) 】'''

Frobeniusにより明らかにされた非負行列の固有値の諸性質は数多くのFrobenius定理
として広く知られている．その中で，Perron-Frobenius定理は非負行列の絶対値
最大固有値の上下限を最適化問題の最適値として与えるものである．本定理は
そもそもPerronが正行列に対して証明した内容をFrobeniusが非負行列にまで
拡張したものであり，その定理は以下の通りである．

非負<math>n</math>次正方行列<math>[a_{ij}]</math>は既約とする．
行列<math>[a_{ij}]</math>の絶対値最大固有値<math>\lambda</math>は<math>\lambda>0</math>であり、<math>\lambda</math>に
対応する固有ベクトル<math>[z_1,\ldots,z_n]^{\top}</math>はスカラー倍を除いて一意である．
ここで，<math>^{\top}</math>は転置を示す．さらに，
成分が全て正である任意の<math>n</math>次元ベクトル
<math>[x_1,\ldots,x_n]^{\top}</math>に対して,
\begin{eqnarray*}
\min_{i=1,\ldots,n}
\left\{ \frac{\sum_{j=1}^n a_{1j}x_j}{x_1} \cdots, \frac{\sum_{j=1}^n a_{nj}x_j}{x_n}
\right\}
\leq \lambda \leq
\max_{i=1,\ldots,n}
\left\{ \frac{\sum_{j=1}^n a_{1j}x_j}{x_1} \cdots, \frac{\sum_{j=1}^n a_{nj}x_j}{x_n}
\right\}
\end{eqnarray*}
が成立し，
\begin{eqnarray*}
&& \max_{x_1>0,\ldots,x_n>0}\min_{i=1,\ldots,n}
\left\{ \frac{\sum_{j=1}^n a_{1j}x_j}{x_1}, \cdots, \frac{\sum_{j=1}^n a_{nj}x_j}{x_n}
\right\}\\
&&\quad = \lambda = \min_{x_1>0,\ldots,x_n>0}
\max_{i=1,\ldots,n}
\left\{ \frac{\sum_{j=1}^n a_{1j}x_j}{x_1}, \cdots, \frac{\sum_{j=1}^n a_{nj}x_j}{x_n}
\right\}
\end{eqnarray*}
が成立する．上式の<math>[x_1,\ldots,x_n]^{\top}</math>に関する最大化問題と最小化問題のいずれの
最適解も<math>\lambda</math>に対応する固有ベクトル<math>[z_1,\ldots,z_n]^{\top}</math>のスカラー倍に
限る．

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	が成立する．上式の<math>[x_1,\cdots,x_n]^{\top}</math>に関する最大化問題と最小化問題のいずれの		が成立する．上式の<math>[x_1,\cdots,x_n]^{\top}</math>に関する最大化問題と最小化問題のいずれの
	[[最適解]]も<math>\lambda</math>に対応する固有ベクトル<math>[z_1,\ldots,z_n]^{\top}</math>のスカラー倍に限る．		[[最適解]]も<math>\lambda</math>に対応する固有ベクトル<math>[z_1,\ldots,z_n]^{\top}</math>のスカラー倍に限る．
		+
		+	[[category:AHP(階層的意思決定法)\|ぺろん－ふろべにうすていり]]

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 </table>
 が成立する．上式の<math>[x_1,\cdots,x_n]^{\top}</math>に関する最大化問題と最小化問題のいずれの
-最適解も<math>\lambda</math>に対応する固有ベクトル<math>[z_1,\ldots,z_n]^{\top}</math>のスカラー倍に限る．
+[[最適解]]も<math>\lambda</math>に対応する固有ベクトル<math>[z_1,\ldots,z_n]^{\top}</math>のスカラー倍に限る．

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-'''【 ペロン-フロベニウスていり(Perron-Frobenius Theorem) 】'''
+'''【 ぺろん－ふろべにうすていり (Perron-Frobenius theorem) 】'''
-Frobeniusにより明らかにされた非負行列の固有値の諸性質は数多くのFrobenius定理
+フロベニウス（Frobenius）により明らかにされた非負行列の固有値の諸性質は
-として広く知られている．その中で，Perron-Frobenius定理は非負行列の絶対値
+数多くのフロベニウス定理として広く知られている．
-最大固有値の上下限を最適化問題の最適値として与えるものである．本定理は
+その中で，ペロン－フロベニウス（Perron-Frobenius）定理は非負行列の絶対値
-そもそもPerronが正行列に対して証明した内容をFrobeniusが非負行列にまで
+最大固有値の上下限を[[最適化問題]]の最適値として与えるものである．
-拡張したものであり，その定理は以下の通りである．
+本定理はそもそもペロンが正行列に対して証明した内容をフロベニウスが
 非負<math>n</math>次正方行列<math>[a_{ij}]</math>は既約とする．
-行列<math>[a_{ij}]</math>の絶対値最大固有値<math>\lambda</math>は<math>\lambda>0</math>であり、<math>\lambda</math>に
+行列<math>[a_{ij}]</math>の絶対値最大固有値<math>\lambda</math>は<math>\lambda>0</math>であり，
-対応する固有ベクトル<math>[z_1,\ldots,z_n]^{\top}</math>はスカラー倍を除いて一意である．
+<math>\lambda</math>に対応する固有ベクトル<math>[z_1,\ldots,z_n]^{\top}</math>はスカラー倍を除いて一意である．
 ここで，<math>^{\top}</math>は転置を示す．さらに，
 成分が全て正である任意の<math>n</math>次元ベクトル
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 </tr>
 </table>
-が成立する．上式の<math>[x_1,\ldots,x_n]^{\top}</math>に関する最大化問題と最小化問題のいずれの
+が成立する．上式の<math>[x_1,\cdots,x_n]^{\top}</math>に関する最大化問題と最小化問題のいずれの
-最適解も<math>\lambda</math>に対応する固有ベクトル<math>[z_1,\ldots,z_n]^{\top}</math>のスカラー倍に
+最適解も<math>\lambda</math>に対応する固有ベクトル<math>[z_1,\ldots,z_n]^{\top}</math>のスカラー倍に限る．