非協力ゲーム理論 - 版の履歴

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【ひきょうりょくげーむりろん (noncooperative game theory)】

プレイヤー間で拘束的な協定を結ぶことができないゲームを非協力ゲームといい, 非協力ゲームを扱う理論を非協力ゲーム理論という. 非協力ゲームでは, 提携は形成されない. 非協力ゲーム理論はナッシュ (J.F. Nash) が創始した.

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 === 詳説 ===
-　プレイヤー間で拘束的な協定をむすぶことが可能なゲームを協力ゲーム, そうでないゲームを非協力ゲームといい, 非協力ゲームを扱う理論を非協力ゲーム理論 (noncooperative game theory) という. 拘束的協定とは, ゲームの外部から付与された拘束力をともなう協定であって, たとえば違反した場合にしかるべきペナルティが課せられるために従わざるをえないような協定である. それゆえ, 協力ゲームでは拘束的協定のもとでプレイヤーたちは 提携 を組んで行動することができるが, 非協力ゲームではプレイヤーたちは個々独立に意思決定し, 束縛されずに自由なコミュニケーションや取り決めをすることが許されている. これらのことは普通モデルに明記されないので注意が必要である.
+　[[プレイヤー]]間で拘束的な協定をむすぶことが可能なゲームを[[協力ゲーム]], そうでないゲームを非協力ゲームといい, 非協力ゲームを扱う理論を[[非協力ゲーム理論]] (noncooperative game theory) という. 拘束的協定とは, ゲームの外部から付与された拘束力をともなう協定であって, たとえば違反した場合にしかるべきペナルティが課せられるために従わざるをえないような協定である. それゆえ, 協力ゲームでは拘束的協定のもとでプレイヤーたちは [[提携]] を組んで行動することができるが, 非協力ゲームではプレイヤーたちは個々独立に意思決定し, 束縛されずに自由なコミュニケーションや取り決めをすることが許されている. これらのことは普通モデルに明記されないので注意が必要である.
-　フォンノイマン (J. von Neumann) が1928年にミニマックス定理を証明することによって解決した, ゲーム理論の出発点に位置する2人ゼロ和ゲームは最もよく知られた非協力ゲームであり, 勝つか負けるかという完全な利害対立状況を記述するものである([8]). これに対して, ナッシュ (J. F. Nash) が1950年に創始した一般の非協力ゲームでは, 有名な囚人のジレンマなどにみられるように, 利害は完全に対立するとはかぎらない. そのためゼロ和という条件に縛られないので, 今日, 経済学を中心とする社会科学や生物学などに広く応用されている. 非協力ゲーム理論とは, 普通, このナッシュの理論をいう([5]).
+　フォンノイマン (J. von Neumann) が1928年に[[ミニマックス定理 (ゲーム理論における)|ミニマックス定理]]を証明することによって解決した, ゲーム理論の出発点に位置する[[2人ゼロ和ゲーム]]は最もよく知られた非協力ゲームであり, 勝つか負けるかという完全な利害対立状況を記述するものである([8]). これに対して, ナッシュ (J. F. Nash) が1950年に創始した一般の非協力ゲームでは, 有名な[[囚人のジレンマ]]などにみられるように, 利害は完全に対立するとはかぎらない. そのためゼロ和という条件に縛られないので, 今日, 経済学を中心とする社会科学や生物学などに広く応用されている. 非協力ゲーム理論とは, 普通, このナッシュの理論をいう([5]).
-　ナッシュはさらに, 合理的主体間の交渉や契約などの協力行動, つまり, 協力ゲームは, 一般に適切な非協力ゲームに還元して分析するべきであるという方法論上の提案をしたが, これは現在ナッシュプログラム (Nash program) として知られている([5]). 1994年のノーベル経済学賞は, あとで述べるようにこの方法論が経済分析に果たした貢献が評価されて, ナッシュ, ハルサーニ (J. C. Harsanyi) およびゼルテン (R.Selten) に対して与えられたものである.
+　ナッシュはさらに, 合理的主体間の交渉や契約などの協力行動, つまり, 協力ゲームは, 一般に適切な非協力ゲームに還元して分析するべきであるという方法論上の提案をしたが, これは現在[[ナッシュプログラム]] (Nash program) として知られている([5]). 1994年のノーベル経済学賞は, あとで述べるようにこの方法論が経済分析に果たした貢献が評価されて, ナッシュ, ハルサーニ (J. C. Harsanyi) およびゼルテン (R.Selten) に対して与えられたものである.
-　非協力ゲームは,  のように形式的に表現することができる. このように表現されたゲームを戦略形ゲームという. ここにはプレイヤーの集合, はプレイヤーの戦略の集合, は上で定義されたプレイヤーのフォンノイマン・モルゲンシュテルン効用関数である. とすべてのが有限集合であるとき, ゲームを有限ゲーム, そうでないとき無限ゲームという. また,  , が成り立つゲームが2人ゼロ和ゲームである.
+　非協力ゲームは,  <math>G=(N; S_1,\ldots ,S_n; u_1,\ldots ,u_n)\, </math>  のように形式的に表現することができる. このように表現されたゲームを[[戦略形ゲーム]]という. ここに<math>N\, </math>はプレイヤーの集合, <math>S_i\, </math>はプレイヤー<math>i\, </math>の[[戦略 (ゲーム理論における)|戦略]]の集合, <math>u_i\, </math>は<math>S=S_1 \times \cdots \times S_n\, </math>上で定義されたプレイヤー<math>i\, </math>の[[フォンノイマン・モルゲンシュテルン効用関数]]である.  <math>N\, </math>とすべての<math>S_i\, </math>が有限集合であるとき, ゲーム<math>G\, </math>を有限ゲーム, そうでないとき無限ゲームという. また, <math>N=\{1,2\}, \ u_1 (s)+u_2 (s) = 0\ \mbox{ for all } s=(s_1, s_2) \in S_1 \times S_2\, \, </math> , が成り立つゲーム<math>G\, </math>が[[2人ゼロ和ゲーム]]である.
-　非協力ゲームのナッシュ均衡 (Nash equilibrium) とは, 次のような混合戦略の組である. でプレイヤーの混合戦略の集合をあらわし, 混合戦略の組 のもとでのプレイヤーの効用の期待値（期待効用）をであらわそう. このとき, 混合戦略の組がナッシュ均衡であるとは, すべてのプレイヤーiに対して
+　非協力ゲームの[[ナッシュ均衡]] (Nash equilibrium) とは, 次のような[[混合戦略]]の組である. <math>\Delta S_i\, </math>でプレイヤー<math>i\, </math>の混合戦略の集合をあらわし, 混合戦略の組<math>x=(x_1, \ldots , x_n) \in \Delta S= \Delta S_1 \times\cdots \times \Delta S_n\, </math> のもとでのプレイヤー<math>i\, </math>の効用の期待値（期待効用）を<math>U_i(x)\, </math>であらわそう. このとき, 混合戦略の組<math>x^*=(x^{*}_{1}, \ldots , x^*_n ) \in \Delta S\, </math>がナッシュ均衡であるとは, すべてのプレイヤーiに対して
+<center>
+<math>U_i (x^*) \ge U_i (x^*_1 ,\ldots , x^*_{i-1}, x_i, x^*_{i+1},\ldots , x^*_n )\ \mbox{ for all } x_i \in \Delta S_i\, </math>
+</center>
 となることである. このように, ナッシュ均衡においては, 各プレイヤーの戦略は他のすべてのプレイヤーの戦略に対する最適な反応であり, 独立に行動する各プレイヤーは, 外的な拘束力がなくても, 他の戦略に切り替えることなくそこに留まることになる.
-　混合戦略まで考えた有限ゲームや, 各 がコンパクト凸集合で, 各効用関数 が連続かつに関して準凹であるような無限ゲームがナッシュ均衡をもつことは, ブラウワーや角谷の不動点定理によって証明することができる. また, 2人ゼロ和ゲームのナッシュ均衡は, マックスミニ戦略とミニマックス戦略の組であることも容易に確かめることができる. こうして, ナッシュによる均衡の存在定理は, ミニマックス定理の拡張になっていることがわかる.
+　混合戦略まで考えた有限ゲームや, 各<math>S_i\, </math> がコンパクト凸集合で, 各効用関数<math>u_i\, </math> が連続かつ<math>x_i\, </math>に関して準凹であるような無限ゲームがナッシュ均衡をもつことは, ブラウワーや角谷の不動点定理によって証明することができる. また, 2人ゼロ和ゲームのナッシュ均衡は, [[マックスミニ戦略]]と[[ミニマックス戦略]]の組であることも容易に確かめることができる. こうして, ナッシュによる均衡の存在定理は, [[ミニマックス定理 (ゲーム理論における)|ミニマックス定理]]の拡張になっていることがわかる.
-参考文献
+----
-[1] R. Axcelrod, The Evolution of Cooperation, Basic Books, 1984.
+[1] R. Axcelrod, ''The Evolution of Cooperation'', Basic Books, 1984.
-[2] J. C. Harsanyi, "Games with Incomplete Information Played by `Bayesian' Players, parts I,II and III," Management Science, 14 (1967-8), 159-182, 320-334, 486-502.
+[2] J. C. Harsanyi, "Games with Incomplete Information Played by `Bayesian' Players, parts I,II and III," ''Management Science'', '''14''' (1967-8), 159-182, 320-334, 486-502.
-[3] D. M. Kreps and R. Wilson, "Sequential Equilibria," Econometrica, 50 (1982), 863-894.
+[3] D. M. Kreps and R. Wilson, "Sequential Equilibria," ''Econometrica'', '''50''' (1982), 863-894.
-[4] H. W. Kuhn, "Extensive Games and the Problem of Information," in Contributions to the Theory of Games II, Annals of Mathematics Studies, 28, H. W. Kuhn and A. W. Tucker, eds., Princeton University Press, 1953.
+[4] H. W. Kuhn, "Extensive Games and the Problem of Information," in ''Contributions to the Theory of Games II,  Annals of Mathematics Studies'', '''28''', H. W. Kuhn and A. W. Tucker,  eds., Princeton University Press, 1953.
-[5] J. F. Nash, Jr, Essays on Game Theory, Edward Elgar, 1996
+[5] J. F. Nash, Jr, ''Essays on Game Theory'', Edward Elgar, 1996
-[6] R. C. Selten, "Reexamination of the Perfectness Concept for Equilibrium Points in Extensive Games," International Journal of Game Theory, 4 (1975), 25-55.
+[6] R. C. Selten, "Reexamination of the Perfectness Concept for Equilibrium Points in Extensive Games," ''International Journal of Game Theory'', '''4''' (1975), 25-55.
-[7] L. S. Shapley, "Stochastic Games," Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States}, 39 (1953), 1095-1100.
+[7] L. S. Shapley, "Stochastic Games," ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States''}, '''39''' (1953), 1095-1100.
-[8] J. von Neumann and O. Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior. 3rd ed., Princeton University Press, 1953.
+[8] J. von Neumann and O. Morgenstern, ''Theory of Games and Economic Behavior. 3rd ed.,'' Princeton University Press, 1953.
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 '''【ひきょうりょくげーむりろん (noncooperative game theory)】'''
 プレイヤー間で拘束的な協定を結ぶことができないゲームを非協力ゲームといい, 非協力ゲームを扱う理論を非協力ゲーム理論という. 非協力ゲームでは, 提携は形成されない. 非協力ゲーム理論はナッシュ (J.F. Nash) が創始した.
-詳しくは[[《非協力ゲーム理論》|基礎編：非協力ゲーム理論]]を参照.
+=== 詳説 ===

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	プレイヤー間で拘束的な協定を結ぶことができないゲームを非協力ゲームといい, 非協力ゲームを扱う理論を非協力ゲーム理論という. 非協力ゲームでは, 提携は形成されない. 非協力ゲーム理論はナッシュ (J.F. Nash) が創始した.		プレイヤー間で拘束的な協定を結ぶことができないゲームを非協力ゲームといい, 非協力ゲームを扱う理論を非協力ゲーム理論という. 非協力ゲームでは, 提携は形成されない. 非協力ゲーム理論はナッシュ (J.F. Nash) が創始した.
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		+	詳しくは[[《非協力ゲーム理論》\|基礎編：非協力ゲーム理論]]を参照.

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	プレイヤー間で拘束的な協定を結ぶことができないゲームを非協力ゲームといい, 非協力ゲームを扱う理論を非協力ゲーム理論という. 非協力ゲームでは, 提携は形成されない. 非協力ゲーム理論はナッシュ (J.F. Nash) が創始した.		プレイヤー間で拘束的な協定を結ぶことができないゲームを非協力ゲームといい, 非協力ゲームを扱う理論を非協力ゲーム理論という. 非協力ゲームでは, 提携は形成されない. 非協力ゲーム理論はナッシュ (J.F. Nash) が創始した.

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