フェンシェル型双対定理 - 版の履歴

2008年11月13日 (木) 06:32にAlbeit-Kunによる

2008-11-13T06:32:46Z

Orsjwiki: "フェンシェル型双対定理" を保護しました。 [edit=sysop:move=sysop]

2007-07-20T01:57:37Z

"フェンシェル型双対定理" を保護しました。 [edit=sysop:move=sysop]

2007年7月13日 (金) 15:42に222.225.128.209による

2007-07-13T15:42:18Z

2007年7月13日 (金) 08:44に122.17.2.240による

2007-07-13T08:44:20Z

2007年7月13日 (金) 08:27に122.17.2.240による

2007-07-13T08:27:07Z

2007年7月13日 (金) 07:53に122.17.2.240による

2007-07-13T07:53:54Z

2007年7月13日 (金) 06:39に122.17.2.240による

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【ふぇんしぇるがたそうついていり (Fenchel-type duality theorem)】

フェンシェル(フェンケル)型双対定理とは, 一般に, 「凸関数」と「凹関数」の組$(f,g)$とそれらの共役関数の組$(f\sp{\bullet}, g\sp{\circ})$の間に成り立つ最大最小定理を意味する. 例えば, $\langle p, x \rangle = \sum_{i=1}\sp{n}p_{i}x_{i}$として, 以下の形の主張となる.

\[
\begin{array}{l}
\inf\{ f(x) - g(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n} \} = \\
\hspace*{10mm} \sup\{ g\sp{\circ}(p) - f\sp{\bullet}(p)
\mid p \in {\bf Z}\sp{n} \} , \\
f\sp{\bullet}(p)
= \sup\{ \langle p, x \rangle - f(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n} \}
\: ( p \in {\bf Z}\sp{n}) , \\
g\sp{\circ}(p)
= \inf\{ \langle p, x \rangle - g(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n} \}
\: ( p \in {\bf Z}\sp{n}) .
\end{array}
\]

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 '''【ふぇんしぇるがたそうついていり (Fenchel-type duality theorem)】'''
-フェンシェル(フェンケル)型双対定理とは, 一般に, 「凸関数」と「凹関数」の組$<math>(f,g)</math>$とそれらの共役関数の組$<math>(f^{\bullet}, g^{\circ})</math>$の間に成り立つ最大最小定理を意味する. 例えば, $<math>\textstyle \langle p, x \rangle = \sum_{i=1}^{n}p_{i}x_{i}</math>$として, 以下の形の主張となる. <br><br>
+フェンシェル(フェンケル)型双対定理とは, 一般に, 「凸関数」と「凹関数」の組<math>(f,g)</math>とそれらの共役関数の組<math>(f^{\bullet}, g^{\circ})</math>の間に成り立つ最大最小定理を意味する. 例えば, <math>\textstyle \langle p, x \rangle = \sum_{i=1}^{n}p_{i}x_{i}</math>として, 以下の形の主張となる. <br><br>
 <center>
-<table>
+<table　align = center>
 <tr><td>
 <math>\mbox{inf} \{ f(x) - g(x) \mid x \in {\mathbf Z} \} ^{n} =</math><br>
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 <math>g^{\circ}(p) = \mbox{inf} \{\langle p, x \rangle - g(x) \mid x \in {\mathbf Z}^{n} \} : ( p \in {\mathbf Z}^{n}) .</math><br>
 </td></tr>
-</table>
+</table></center>
-</center><br>
+<br>

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 '''【ふぇんしぇるがたそうついていり (Fenchel-type duality theorem)】'''
-フェンシェル(フェンケル)型双対定理とは, 一般に, 「凸関数」と「凹関数」の組$<math>(f,g)</math>$とそれらの共役関数の組$<math>(f^{\bullet}, g^{\circ})</math>$の間に成り立つ最大最小定理を意味する. 例えば, $<math>\langle p, x \rangle = \sum_{i=1}^{n}p_{i}x_{i}</math>$として, 以下の形の主張となる. <br><br><center>
+フェンシェル(フェンケル)型双対定理とは, 一般に, 「凸関数」と「凹関数」の組$<math>(f,g)</math>$とそれらの共役関数の組$<math>(f^{\bullet}, g^{\circ})</math>$の間に成り立つ最大最小定理を意味する. 例えば, $<math>\textstyle \langle p, x \rangle = \sum_{i=1}^{n}p_{i}x_{i}</math>$として, 以下の形の主張となる. <br><br>
-<table border = 0>
-   <tr><td>\begin{array}{l}
+<center>
-  <math>\mbox{inf}{ f(x) - g(x) \mid x \in {\mathbf Z}^{n}} =</math><br>
+<table>
- :<math>\mbox{sup}{ g^{\circ}(p) - f^{\bullet}(p) \mid p \in {\mathbf Z}^{n}} ,</math><br>
+<tr><td>
- <math>f^{\bullet}(p) = \mbox{sup}{\langle p, x \rangle - f(x) \mid x \in {\mathbf Z}^{n}} : ( p \in {\mathbf Z}^{n}) ,</math><br>
+<math>\mbox{inf} \{ f(x) - g(x) \mid x \in {\mathbf Z} \} ^{n} =</math><br>
- <math>g^{\circ}(p) = \mbox{inf}{\langle p, x \rangle - g(x) \mid x \in {\mathbf Z}^{n}} : ( p \in {\mathbf Z}^{n}) .</math><br>
+::<math>\mbox{sup} \{ g^{\circ}(p) - f^{\bullet}(p) \mid p \in {\mathbf Z}^{n} \} ,</math><br>
-\end{array}
+<math>f^{\bullet}(p) = \mbox{sup} \{\langle p, x \rangle - f(x) \mid x \in {\mathbf Z}^{n} \} : ( p \in {\mathbf Z}^{n}) ,</math><br>
 </td></tr>
 </table>
 </center><br>

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 <table border = 0>
     <tr><td>\begin{array}{l}
-   \inf\{ f(x) - g(x) \mid x \in {\bf Z}¥sp{n}  \} = \\
+  <math>\mbox{inf}{ f(x) - g(x) \mid x \in {\mathbf Z}^{n}} =</math><br>
-  \hspace*{10mm} \sup\{ g\sp{\circ}(p) - f\sp{\bullet}(p)
+ :<math>\mbox{sup}{ g^{\circ}(p) - f^{\bullet}(p) \mid p \in {\mathbf Z}^{n}} ,</math><br>
-  \mid   p \in {\bf Z}\sp{n} \} , \\
+  <math>f^{\bullet}(p) = \mbox{sup}{\langle p, x \rangle - f(x) \mid x \in {\mathbf Z}^{n}} : ( p \in {\mathbf Z}^{n}) ,</math><br>
-  f\sp{\bullet}(p)
+  <math>g^{\circ}(p) = \mbox{inf}{\langle p, x \rangle - g(x) \mid x \in {\mathbf Z}^{n}} : ( p \in {\mathbf Z}^{n}) .</math><br>
 \end{array}
 </td></tr>
 </table>
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 '''【ふぇんしぇるがたそうついていり (Fenchel-type duality theorem)】'''
-フェンシェル(フェンケル)型双対定理とは, 一般に, 「凸関数」と「凹関数」の組$<math>(f,g)</math>$とそれらの共役関数の組$<math>(f\sp{\bullet}, g\sp{\circ})</math>$の間に成り立つ最大最小定理を意味する. 例えば, $<math>\langle p, x</math> \rangle = \sum_{i=1}\sp{n}p_{i}x_{i}$として, 以下の形の主張となる. <br><br><center>
+フェンシェル(フェンケル)型双対定理とは, 一般に, 「凸関数」と「凹関数」の組$<math>(f,g)</math>$とそれらの共役関数の組$<math>(f^{\bullet}, g^{\circ})</math>$の間に成り立つ最大最小定理を意味する. 例えば, $<math>\langle p, x \rangle = \sum_{i=1}^{n}p_{i}x_{i}</math>$として, 以下の形の主張となる. <br><br><center>
 <table border = 0>
-    <tr><td><math>\begin{array}{l}
+    <tr><td>\begin{array}{l}
-    \inf\{ f(x) - g(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n}  \} = \\
+    \inf\{ f(x) - g(x) \mid x \in {\bf Z}¥sp{n}  \} = \\
    \hspace*{10mm} \sup\{ g\sp{\circ}(p) - f\sp{\bullet}(p)
    \mid   p \in {\bf Z}\sp{n} \} , \\
   f\sp{\bullet}(p)
   = \sup\{  \langle p, x \rangle - f(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n} \}
-  \: ( p \in {\bf Z}\sp{n}) , \\
+  : ( p \in {\bf Z}\sp{n}) ,
-  g\sp{\circ}(p)
+  g¥sp{¥circ}(p)
   = \inf\{  \langle p, x \rangle - g(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n} \}
   \: ( p \in {\bf Z}\sp{n}) .
-\end{array}</math>
+\end{array}
 </td></tr>
 </table>
 </center><br>

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