フェンシェルの双対性 - 版の履歴

2008年11月13日 (木) 06:33にAlbeit-Kunによる

2008-11-13T06:33:08Z

Orsjwiki: "フェンシェルの双対性" を保護しました。 [edit=sysop:move=sysop]

2007-07-20T01:57:58Z

"フェンシェルの双対性" を保護しました。 [edit=sysop:move=sysop]

2007年7月13日 (金) 15:39に222.225.128.209による

2007-07-13T15:39:05Z

2007年7月13日 (金) 06:54に122.17.2.240による

2007-07-13T06:54:19Z

2007年7月13日 (金) 06:53に122.17.2.240による

2007-07-13T06:53:40Z

2007年7月13日 (金) 06:50に122.17.2.240による

2007-07-13T06:50:38Z

2007年7月13日 (金) 06:48に122.17.2.240による

2007-07-13T06:48:06Z

122.17.2.240: 新しいページ: '【ふぇんしぇるのそうついせい (Fenchel duality)】 2つの下半連続な真凸関数 $k: {\bf R}^n\to\bar{{\bf R}}$ と $h: {\bf R}^m\to\bar{{\bf R}}$, および...'

2007-07-12T16:46:10Z

新しいページ: '【ふぇんしぇるのそうついせい (Fenchel duality)】 2つの下半連続な真凸関数 $k: {\bf R}^n\to\bar{{\bf R}}$ と $h: {\bf R}^m\to\bar{{\bf R}}$, および...'

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【ふぇんしぇるのそうついせい (Fenchel duality)】

2つの下半連続な真凸関数 $k: {\bf R}^n\to\bar{{\bf R}}$ と $h: {\bf R}^m\to\bar{{\bf R}}$, および $A\in{{\bf R}^{m\times{n}}}$, $b\in{{\bf R}^m}$, $c\in{{\bf R}^n}$ に対して, 次の問題のペアに対して成立する双対性のこと.

\[
\begin{array}{l}
\displaystyle{ \min_{x\in{{\bf R}^n}}\;\{c^{T}x+k(x)+h(b-Ax)\},} \\
\displaystyle{ \max_{y\in{{\bf R}^m}}\;\{b^{T}y-h^{*}(y)-k^{*}(A^{T}y-c)\} }
\end{array}
\]

ここで, ${}^*$ は共役関数を表す. 通常は, 簡略化して目的関数を凸関数 $f_1(x)$ と凹関数 $f_2(x)$ の差で表した主問題 $\min_{x}\{f_1(x)-f_2(x)\}$ に対して, $\max_{y}\{f_{2}^{*}(y)-f_{1}^{*}(y)\}$ をフェンシェルの双対問題と呼び, その双対性を指す.

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	ここで, <math>{}^</math> は共役関数を表す. 通常は, 簡略化して目的関数を凸関数 <math>f_1(x)</math> と凹関数 <math>f_2(x)</math> の差で表した主問題 <math>\min_{x}\{f_1(x)-f_2(x)\}</math> に対して, <math>\max_{y}\{f_{2}^{}(y)-f_{1}^{*}(y)\}</math> をフェンシェルの双対問題と呼び, その双対性を指す.		ここで, <math>{}^</math> は共役関数を表す. 通常は, 簡略化して目的関数を凸関数 <math>f_1(x)</math> と凹関数 <math>f_2(x)</math> の差で表した主問題 <math>\min_{x}\{f_1(x)-f_2(x)\}</math> に対して, <math>\max_{y}\{f_{2}^{}(y)-f_{1}^{*}(y)\}</math> をフェンシェルの双対問題と呼び, その双対性を指す.
		+
		+	[[Category:非線形計画\|ふぇんしぇるのそうついせい]]

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 '''【ふぇんしぇるのそうついせい (Fenchel duality)】'''
-つの下半連続な真凸関数 $<math>k: {\mathbf R}^n\to\bar{{\mathbf R}}</math>$ と $<math>h: {\mathbf R}^m\to\bar{{\mathbf R}}</math>$, および $<math>A\in{{\mathbf R}^{m\times{n}}}</math>$, $<math>b\in{{\mathbf R}^m}</math>$, $<math>c\in{{\mathbf R}^n}</math>$ に対して, 次の問題のペアに対して成立する双対性のこと. <br><br><center>
+つの下半連続な真凸関数 <math>k: {\mathbf R}^n\to\bar{{\mathbf R}}</math> と <math>h: {\mathbf R}^m\to\bar{{\mathbf R}}</math>, および <math>A\in{{\mathbf R}^{m\times{n}}}</math>, <math>b\in{{\mathbf R}^m}</math>, <math>c\in{{\mathbf R}^n}</math> に対して, 次の問題のペアに対して成立する双対性のこと. <br><br><center>
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-ここで, $<math>{}^*</math>$ は共役関数を表す. 通常は, 簡略化して目的関数を凸関数 $<math>f_1(x)</math>$ と凹関数 $<math>f_2(x)</math>$ の差で表した主問題 $<math>\min_{x}\{f_1(x)-f_2(x)\}</math>$ に対して, $<math>\max_{y}\{f_{2}^{*}(y)-f_{1}^{*}(y)\}</math>$ をフェンシェルの双対問題と呼び, その双対性を指す.
+ここで, <math>{}^*</math> は共役関数を表す. 通常は, 簡略化して目的関数を凸関数 <math>f_1(x)</math> と凹関数 <math>f_2(x)</math> の差で表した主問題 <math>\min_{x}\{f_1(x)-f_2(x)\}</math> に対して, <math>\max_{y}\{f_{2}^{*}(y)-f_{1}^{*}(y)\}</math> をフェンシェルの双対問題と呼び, その双対性を指す.

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	ここで, $<math>{}^</math>$ は共役関数を表す. 通常は, 簡略化して目的関数を凸関数 $<math>f_1(x)</math>$ と凹関数 $<math>f_2(x)</math>$ の差で表した主問題 $<math>\min_{x}\{f_1(x)-f_2(x)\}</math>$ に対して, $<math>\max_{y}\{f_{2}^{}(y)-f_{1}^{*}(y)\}</math>$ をフェンシェルの双対問題と呼び, その双対性を指す.		ここで, $<math>{}^</math>$ は共役関数を表す. 通常は, 簡略化して目的関数を凸関数 $<math>f_1(x)</math>$ と凹関数 $<math>f_2(x)</math>$ の差で表した主問題 $<math>\min_{x}\{f_1(x)-f_2(x)\}</math>$ に対して, $<math>\max_{y}\{f_{2}^{}(y)-f_{1}^{*}(y)\}</math>$ をフェンシェルの双対問題と呼び, その双対性を指す.

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 '''【ふぇんしぇるのそうついせい (Fenchel duality)】'''
-つの下半連続な真凸関数 $<math>k: {\mathbf R}^n\to\bar{{\mathbf R}}</math>$ と $<math>h: {\mathbf R}^m\to\bar{{\mathbf R}}</math>$, および $<math>A\in{{\bf R}^{m\times{n}}}</math>$, $<math>b\in{{\bf R}^m}</math>$, $<math>c\in{{\bf R}^n}</math>$ に対して, 次の問題のペアに対して成立する双対性のこと. <br><br><center>
+つの下半連続な真凸関数 $<math>k: {\mathbf R}^n\to\bar{{\mathbf R}}</math>$ と $<math>h: {\mathbf R}^m\to\bar{{\mathbf R}}</math>$, および $<math>A\in{{\mathbf R}^{m\times{n}}}</math>$, $<math>b\in{{\mathbf R}^m}</math>$, $<math>c\in{{\mathbf R}^n}</math>$ に対して, 次の問題のペアに対して成立する双対性のこと. <br><br><center>
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     <tr><td><math>\begin{array}{l}
-\displaystyle{ \min_{x\in{{\bf R}^n}}\;\{c^{T}x+k(x)+h(b-Ax)\},} \\
+\displaystyle{ \min_{x\in{{\mathbf R}^n}}\;\{c^{T}x+k(x)+h(b-Ax)\},} \\
-\displaystyle{ \max_{y\in{{\bf R}^m}}\;\{b^{T}y-h^{*}(y)-k^{*}(A^{T}y-c)\} }
+\displaystyle{ \max_{y\in{{\mathbf R}^m}}\;\{b^{T}y-h^{*}(y)-k^{*}(A^{T}y-c)\} }
 \end{array}</math>
 </td></tr>
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-ここで, $<math>{}^*</math>$ は共役関数を表す. 通常は, 簡略化して目的関数を凸関数 $<math>f_1(x)</math>$ と凹関数 $<math>f_2(x)</math>$ の差で表した主問題 $\min_{x}\{f_1(x)-f_2(x)\}$ に対して, $<math>\max_{y}\{f_{2}^{*}(y)-f_{1}^{*}(y)\}</math>$ をフェンシェルの双対問題と呼び, その双対性を指す.
+ここで, $<math>{}^*</math>$ は共役関数を表す. 通常は, 簡略化して目的関数を凸関数 $<math>f_1(x)</math>$ と凹関数 $<math>f_2(x)</math>$ の差で表した主問題 $<math>\min_{x}\{f_1(x)-f_2(x)\}</math>$ に対して, $<math>\max_{y}\{f_{2}^{*}(y)-f_{1}^{*}(y)\}</math>$ をフェンシェルの双対問題と呼び, その双対性を指す.

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 '''【ふぇんしぇるのそうついせい (Fenchel duality)】'''
-つの下半連続な真凸関数 $<math>k: {\bf R}^n\to\bar{{\bf R}}</math>$ と $<math>h: {\bf R}^m\to\bar{{\bf R}}</math>$, および $<math>A\in{{\bf R}^{m\times{n}}}</math>$, $<math>b\in{{\bf R}^m}</math>$, $<math>c\in{{\bf R}^n}</math>$ に対して, 次の問題のペアに対して成立する双対性のこと. <br><br><center>
+つの下半連続な真凸関数 $<math>k: {\mathbf R}^n\to\bar{{\mathbf R}}</math>$ と $<math>h: {\mathbf R}^m\to\bar{{\mathbf R}}</math>$, および $<math>A\in{{\bf R}^{m\times{n}}}</math>$, $<math>b\in{{\bf R}^m}</math>$, $<math>c\in{{\bf R}^n}</math>$ に対して, 次の問題のペアに対して成立する双対性のこと. <br><br><center>
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-ここで, ${}^*$ は共役関数を表す. 通常は, 簡略化して目的関数を凸関数 $f_1(x)$ と凹関数 $f_2(x)$ の差で表した主問題 $\min_{x}\{f_1(x)-f_2(x)\}$ に対して, $\max_{y}\{f_{2}^{*}(y)-f_{1}^{*}(y)\}$ をフェンシェルの双対問題と呼び, その双対性を指す.
+ここで, $<math>{}^*</math>$ は共役関数を表す. 通常は, 簡略化して目的関数を凸関数 $<math>f_1(x)</math>$ と凹関数 $<math>f_2(x)</math>$ の差で表した主問題 $\min_{x}\{f_1(x)-f_2(x)\}$ に対して, $<math>\max_{y}\{f_{2}^{*}(y)-f_{1}^{*}(y)\}</math>$ をフェンシェルの双対問題と呼び, その双対性を指す.

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