《SBMモデル》 - 版の履歴

2007年8月9日 (木) 02:19にKanda.kによる

2007-08-09T02:19:29Z

2007年8月7日 (火) 08:12にKuwashimaによる

2007-08-07T08:12:54Z

Orsjwiki: "《SBMモデル》" を保護しました。 [edit=sysop:move=sysop]

2007-07-19T16:04:51Z

"《SBMモデル》" を保護しました。 [edit=sysop:move=sysop]

2007年7月17日 (火) 10:30に122.17.2.240による

2007-07-17T10:30:59Z

2007年7月12日 (木) 07:04に122.17.2.240による

2007-07-12T07:04:54Z

2007年7月12日 (木) 06:34に122.17.2.240による

2007-07-12T06:34:19Z

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122.17.2.240: 新しいページ: ''''【SBMもでる (slacks-based measure model) 】''' 　加法モデルの目的関数の値は評価尺度の大きさの影響を受け, また, 値の範囲も限定さ...'

2007-07-11T11:19:07Z

新しいページ: ''''【SBMもでる (slacks-based measure model) 】''' 　加法モデルの目的関数の値は評価尺度の大きさの影響を受け, また, 値の範囲も限定さ...'

新規ページ

'''【SBMもでる (slacks-based measure model) 】'''

　加法モデルの目的関数の値は評価尺度の大きさの影響を受け, また, 値の範囲も限定されていないので, 目的関数の値だけで, 効率性を議論しにくい. そこで, 刀根は測定単位に依存せず, スラックの関して単調減少する尺度を用いた次のSBM (Slacks-Based Measure)モデルを提案した [1].

'''SBMモデル'''

\begin{eqnarray*}
\mbox{目的:} & &
\min \rho = \frac{\displaystyle 1 - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}s_{i}^{-}/x_{io}}{\displaystyle 1 + \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}s_{r}^{+}/y_{ro}} \\
\mbox{制約:} & &
X{\mbox{$\boldmath \lambda$}} + {\bf s}^{-} = {\bf x}_{o} \\
& &
Y{\mbox{$\boldmath \lambda$}} - {\bf s}^{+} = {\bf y}_{o} \\
& &
\mbox{$\boldmath \lambda$} \geq {\bf 0}, \
{\bf s}^{-} \geq {\bf 0}, \
{\bf s}^{+} \geq {\bf 0}
\end{eqnarray*}

ただし, ${\bf e}^{t} \mbox{$\boldmath \lambda$}$ の制約は除いている. また, すべてのデータは正であることを仮定している. 目的関数の右辺の分母, 分子に$\phi$を掛けて分母が1になるようにすると, この問題は分子の最小化問題となり, 次のように定式化できる.

\begin{eqnarray*}
\mbox{目的:} & &
\min \rho = \phi - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\phi s_{i}^{-}/x_{io}\\
\mbox{制約:} & &
\phi + \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}\phi s_{r}^{+}/y_{ro} = 1 \\
& &
X{\mbox{$\boldmath \lambda$}} + {\bf s}^{-} = {\bf x}_{o} \\
& &
Y{\mbox{$\boldmath \lambda$}} - {\bf s}^{+} = {\bf y}_{o} \\
& &
\mbox{$\boldmath \lambda$} \geq {\bf 0}, \
{\bf s}^{-} \geq {\bf 0}, \
{\bf s}^{+} \geq {\bf 0}
\end{eqnarray*}

制約の第2式, 第3式の両辺に$\phi$ を掛けて, $\phi s_i^{-} = \alpha_i, \ \phi s_r^{+} = \beta_r, \phi \lambda_j = \gamma_j$ と置くと

\begin{eqnarray*}
\mbox{目的:} & &
\min \rho = \phi - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\alpha_i / x_{io}\\
\mbox{制約:} & &
\phi + \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}\beta_r / y_{ro} = 1 \\
& &
\sum_{j=1}^n x_{ij}\gamma_j + \alpha_i = \phi x_{io} \ \ (i = 1, 2, \ldots, m) \\
& &
\sum_{j=1}^n y_{rj}\gamma_j - \beta_r = \phi y_{ro} \ \ (r = 1, 2, \ldots, s) \\
& &
\alpha_i \geq 0 \ (i = 1, \ldots, m), \ \
\beta_r \geq 0 \ (r = 1, \ldots, s), \ \
\gamma_j \geq 0 \ (j = 1, \ldots, n), \ \
\phi \geq 0
\end{eqnarray*}

となり, $\alpha_i \ (i = 1, \ldots, m), \ \ \beta_r \ (r = 1, \ldots, s), \ \ \gamma_j \ (j = 1, \ldots, n), \ \ \phi$に関するLPとして解くことが出来る.

　分母を1と置いて分子の最小化を図ったが, 分子を1と置いて分母の最大化を図ることも考えられる. その場合には

\begin{eqnarray*}
\mbox{目的:} & &
\max \rho^{-1} = \phi + \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}\beta_r / y_{ro}\\
\mbox{制約:} & &
\phi - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\alpha_i / x_{io} = 1 \\
& &
\sum_{j=1}^n x_{ij}\gamma_j + \alpha_i = \phi x_{io} \ \ (i = 1, 2, \ldots, m) \\
& &
\sum_{j=1}^n y_{rj}\gamma_j - \beta_r = \phi y_{ro} \ \ (r = 1, 2, \ldots, s) \\
& &
\alpha_i \geq 0 \ (i = 1, \ldots, m), \ \
\beta_r \geq 0 \ (r = 1, \ldots, s), \ \
\gamma_j \geq 0 \ (j = 1, \ldots, n), \ \
\phi \geq 0
\end{eqnarray*}

である.

　入出力$({\bf x}_o, {\bf y}_o)$ を持つDMU $O$ は $\rho$ の最適(最小)値$\rho^{*}$ が 1 の場合に限りSBM効率的であると言われる.

　刀根は, さらにSBM効率的なDMU $O$ に対して1以上の効率値を与えることのできる次のSuperSBMモデルを提案している [2].

'''SuperSBMモデル'''

\begin{eqnarray*}
\mbox{目的:} & &
\delta^{*} = \min \delta = \frac{\displaystyle \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\bar{x}_i/x_{io}}{\displaystyle \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}\bar{y}_r / y_{ro}} \\
\mbox{制約:}
& &
\bar{x}_i \geq \sum_{j=1\wedge j\neq o}^n \lambda_j x_{ij} \ \ (i = 1, 2, \ldots, m) \\
& &
\bar{y}_r \leq \sum_{j=1\wedge j\neq o}^n \lambda_j y_{rj} \ \ (r = 1, 2, \ldots, s) \\
& &
\bar{x}_i \geq x_{io} \ \ (i = 1, 2, \ldots, m) \\
& &
0\leq \bar{y}_r \leq y_{ro} \ \ (r = 1, 2, \ldots, s) \\
& &
\lambda_j \geq 0
\end{eqnarray*}

　超効率値$\delta^{*}$も単位不変である（測定単位の影響を受けない）.

----

'''参考文献'''

[1] K. Tone, "A Slacks-based Measure of Efficiency in Data Envelopment Analysis," ''European Journal of Operational Research'', '''130''' (2001), 498-509.

[2] K. Tone, "A Slacks-based Measure of Super-efficiency in Data Envelopment Analysis," ''European Journal of Operational Research'', '''143''' (2002), 32-41.

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−	ただし, <math>\mathbf{e}^{t} \mathbf{\lambda}\, </math>の制約は除いている. また, すべてのデータは正であることを仮定している. 目的関数の右辺の分母, 分子に<math>\phi\, </math>を掛けて分母が1になるようにすると, この問題は分子の最小化問題となり, 次のように定式化できる.	+	ただし, <math>\mathbf{e}^{t} \mathbf{\lambda}=1\, </math>の制約は除いている. また, すべてのデータは正であることを仮定している. 目的関数の右辺の分母, 分子に<math>\phi\, </math>を掛けて分母が1になるようにすると, この問題は分子の最小化問題となり, 次のように定式化できる.

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	[2] K. Tone, "A Slacks-based Measure of Super-efficiency in Data Envelopment Analysis," ''European Journal of Operational Research'', '''143''' (2002), 32-41.		[2] K. Tone, "A Slacks-based Measure of Super-efficiency in Data Envelopment Analysis," ''European Journal of Operational Research'', '''143''' (2002), 32-41.
		+
		+	[[category:DEA(包絡分析法)\|えすびーえむもでる]]

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 '''SBMモデル'''
-<table>
+<table align="center">
 <tr>
 <td>目的:  </td>
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-<table>
+<table align="center">
 <tr>
 <td>目的:  </td>
@@ 55行目: / 55行目: @@
-<table>
+<table align="center">
 <tr>
 <td>目的:  </td>
@@ 87行目: / 87行目: @@
-<table>
+<table align="center">
 <tr>
 <td>目的:  </td>
@@ 125行目: / 125行目: @@
-<table>
+<table align="center">
 <tr>
 <td>目的:  </td>

@@ 7行目: / 7行目: @@
 <table>
 <tr>
-<td>目的</td>
+<td>目的:  </td>
 	<td><math>\min \rho = \frac{\displaystyle 1 - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}s_{i}^{-}/x_{io}}{\displaystyle 1 + \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}s_{r}^{+}/y_{ro}} \, </math></td>
 </tr>
 <tr>
-<td>制約</td>
+<td>制約:  </td>
 	<td><math>X{\mathbf{\lambda}} + {\mathbf s}^{-} = \mathbf {x}_{o}\, </math></td>
 </tr>
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-ただし, <math>\mathbf{e}^{t} \mbox{\mathbf\lambda}\, </math> の制約は除いている. また, すべてのデータは正であることを仮定している. 目的関数の右辺の分母, 分子に<math>\phi\, </math>を掛けて分母が1になるようにすると, この問題は分子の最小化問題となり, 次のように定式化できる.
+ただし, <math>\mathbf{e}^{t} \mathbf{\lambda}\, </math>の制約は除いている. また, すべてのデータは正であることを仮定している. 目的関数の右辺の分母, 分子に<math>\phi\, </math>を掛けて分母が1になるようにすると, この問題は分子の最小化問題となり, 次のように定式化できる.
 <table>
 <tr>
-<td>目的</td>
+<td>目的:  </td>
 	<td><math>\min \rho = \phi - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\phi s_{i}^{-}/x_{io} \, </math></td>
 </tr>
 <tr>
-<td>制約</td>
+<td>制約:  </td>
 	<td><math>\phi + \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}\phi s_{r}^{+}/y_{ro} = 1\, </math></td>
 </tr>
 <tr>
 <td></td>
-	<td><math>X \mathbf{\lambda}} + \mathbf{s}^{-} = \mathbf{x}_{o}\, </math></td>
+	<td><math>X \mathbf{\lambda} + \mathbf{s}^{-} = \mathbf{x}_{o}\, </math></td>
 </tr>
 <tr>
@@ 57行目: / 57行目: @@
 <table>
 <tr>
-<td>目的</td>
+<td>目的:  </td>
 	<td><math>\min \rho = \phi - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\alpha_i / x_{io} \, </math></td>
 </tr>
 <tr>
-<td>制約</td>
+<td>制約:  </td>
 	<td><math>\phi + \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}\beta_r / y_{ro} = 1\, </math></td>
 </tr>
@@ 89行目: / 89行目: @@
 <table>
 <tr>
-<td>目的</td>
+<td>目的:  </td>
 	<td><math>\max \rho^{-1} = \phi + \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}\beta_r / y_{ro} \, </math></td>
 </tr>
 <tr>
-<td>制約</td>
+<td>制約:  </td>
 	<td><math>\phi - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\alpha_i / x_{io} = 1\, </math></td>
 </tr>
@@ 127行目: / 127行目: @@
 <table>
 <tr>
-<td>目的</td>
+<td>目的:  </td>
 	<td><math>\delta^{*} = \min \delta = \frac{\displaystyle \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\bar{x}_i/x_{io}}{\displaystyle \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}\bar{y}_r / y_{ro}}  \, </math></td>
 </tr>
 <tr>
-<td>制約</td>
+<td>制約:  </td>
 	<td><math>\bar{x}_i \geq \sum_{j=1\wedge j\neq o}^n \lambda_j x_{ij} \ \ (i = 1, 2, \ldots, m) \, </math></td>
 </tr>

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(相違点なし)