《積形式解ネットワークとなるための条件》 - 版の履歴

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 '''【せきけいしきねっとわーくとなるためのじょうけん (product form solution of queueing network and Markov process) 】'''
-　[[待ち行列ネットワーク]]の定常分布が解析的に求められるのは，[[ジャクソンネットワーク|ジャクソン]]や[[BCMPネットワーク|BCMP]]ネットワークのように[[定常確率|定常分布]]が各ノードの周辺分布の積として表されるとなる場合と，[[集団移動型ネットワーク|集団移動型]]ネットワーク(batch movement network)などで，特殊な[[サービス規律|サービス規律]]を適用した場合などに限られている．後者の場合も定常分布形がある種の積表現をもつので，これらのネットワークを[[積形式ネットワーク]] (product form network)と総称することが多い．マルコフ連鎖（またはマルコフ過程）により表すことができる一般的な待ち行列ネットワークに対して，このような積形式ネットワークとなるための条件が知られている．これらの条件は一般的なマルコフ連鎖の定常分布を求める際にも役立てることができる．
+　[[待ち行列ネットワーク]]の定常分布が解析的に求められるのは，[[ジャクソンネットワーク|ジャクソン]]や[[BCMPネットワーク|BCMP]]ネットワークのように[[定常状態確率|定常分布]]が各ノードの周辺分布の積として表されるとなる場合と，[[集団移動型ネットワーク|集団移動型]]ネットワーク(batch movement network)などで，特殊な[[サービス規律|サービス規律]]を適用した場合などに限られている．後者の場合も定常分布形がある種の積表現をもつので，これらのネットワークを[[積形式ネットワーク]] (product form network)と総称することが多い．マルコフ連鎖（またはマルコフ過程）により表すことができる一般的な待ち行列ネットワークに対して，このような積形式ネットワークとなるための条件が知られている．これらの条件は一般的なマルコフ連鎖の定常分布を求める際にも役立てることができる．
 '''マルコフ過程による記述'''　待ち行列ネットワークは[[マルコフ過程]]によりモデル化することができる. このマルコフ過程には次の2つのタイプがある.
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 逆に, サービス時間分布が一般の場合にこの方程式が成り立つならば, サービス規律は[[対称型サービス規律|対称型]] である [1]. さらに, 内部推移についても同様な局所平衡方程式が成り立ち, すべての局所平衡方程式を加えると[[大域平衡方程式]] (global balance equation)が得られる. これより, <math>\pi\, </math>が局所平衡方程式を満たせば, 定常分布であることが確認できる. この局所平衡方程式は, 客の残りサービス時間や経過サービス時間が客の配置と独立であることと同値である. 積形式に加えこの独立性が成り立つとき[[2重積形式]] (double product form)を持つという.
-'''逆時間過程''' 局所平衡方程式は一般の積形式ネットワークでは必ずしも成立しない．例えば，到着により客が減る[[負の客]] (negative customer) や負の客が瞬間的に複数のノードを通過するシグナルネットワークも積形式解を持つが局所平衡は成立しない[1]．この種のネットワークの解析には，時間を逆転した確率過程すなわち[[逆過程]] (reversed process)が有効である．一般に[[強定常過程|定常]]なマルコフ連鎖の逆過程もまた定常なマルコフ連鎖となることから，逆過程の推移率を推測できれば，定常分布<math>\pi\, </math>が求められる([5]参照)．逆時間過程は積形式解をもつネットワークを探したり，積形式となることの証明を行う際にも役立つ．
+'''逆時間過程''' 局所平衡方程式は一般の積形式ネットワークでは必ずしも成立しない．例えば，到着により客が減る[[負の客]] (negative customer) や負の客が瞬間的に複数のノードを通過するシグナルネットワークも積形式解を持つが局所平衡は成立しない[1]．この種のネットワークの解析には，時間を逆転した確率過程すなわち[[逆過程]] (reversed process)が有効である．一般に[[定常過程|定常]]なマルコフ連鎖の逆過程もまた定常なマルコフ連鎖となることから，逆過程の推移率を推測できれば，定常分布<math>\pi\, </math>が求められる([5]参照)．逆時間過程は積形式解をもつネットワークを探したり，積形式となることの証明を行う際にも役立つ．
 '''集団移動型ネットワーク''' 複数のノードで同時に到着やサービスがあるネットワークを集団移動型ネットワークモデルと呼ぶ．集団移動型では，一般に状態推移がネットワークの状態全体<math>\boldsymbol{x}\, </math>に依存する．ただし，サービス時間は考えずにネットワークの状態に依存した率で退去が発生するとする．すなわち，集団をベクトル<math>\boldsymbol{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_N)\, </math>で表すとき，<math>\boldsymbol{u}\, </math>の退去がネットワーク状態に依存した率で起こる．この集団<math>\boldsymbol{u}\, </math>が集団<math>\boldsymbol{v}\, </math>となって到着する確率を<math>r_\boldsymbol{uv}\,(x) </math>とする.

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 である. なお, 開放型の場合は, 外部をノード<math>0\, </math>とみなし, ネットワーク状態に取り入れる. ただし, 外部からの到着がポアソン過程に従うならば, ノード<math>0\, </math>からの退去率<math>q_{0u}^{\rm{D}}
    (\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}_0')\, </math>は各<math>u\, </math>に対して定数であり, ノード<math>0\, </math>の状態をネットワーク状態に取り入れる必要はない. このような退去・到着による推移率と内部推移率の総和をネットワーク全体の推移率<math>q\, </math>とすると, <math>q\, </math>はネットワークモデルを表すマルコフ連鎖の推移率である([5]参照).
 　このネットワークモデルでは，サービスが各ノードごとに独立に行われ，経路選択もネットワークの状態とは独立に確率的に行われるので，独立サービス・確率的経路選択ネットワークと呼ぶ．このモデルは，ジャクソン，BCMPやケリーネットワークにおいて，到着過程，サービス方法，サービス時間分布などを一般化したものである．この一般モデルにおいて定常分布が積形式となる条件が得られている（[1]参照）．
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 '''集団移動型ネットワーク''' 複数のノードで同時に到着やサービスがあるネットワークを集団移動型ネットワークモデルと呼ぶ．集団移動型では，一般に状態推移がネットワークの状態全体<math>\boldsymbol{x}\, </math>に依存する．ただし，サービス時間は考えずにネットワークの状態に依存した率で退去が発生するとする．すなわち，集団をベクトル<math>\boldsymbol{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_N)\, </math>で表すとき，<math>\boldsymbol{u}\, </math>の退去がネットワーク状態に依存した率で起こる．この集団<math>\boldsymbol{u}\, </math>が集団<math>\boldsymbol{v}\, </math>となって到着する確率を<math>r_\boldsymbol{uv}\,(x) </math>とする.
 　一般に，集団移動型ネットワークの定常分布を求めることは困難である．そこで，理想的な条件を仮定して定常分布が得られるモデルを探す．例えば，局所平衡方程式

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 '''集団移動型ネットワーク''' 複数のノードで同時に到着やサービスがあるネットワークを集団移動型ネットワークモデルと呼ぶ．集団移動型では，一般に状態推移がネットワークの状態全体<math>\boldsymbol{x}\, </math>に依存する．ただし，サービス時間は考えずにネットワークの状態に依存した率で退去が発生するとする．すなわち，集団をベクトル<math>\boldsymbol{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_N)\, </math>で表すとき，<math>\boldsymbol{u}\, </math>の退去がネットワーク状態に依存した率で起こる．この集団<math>\boldsymbol{u}\, </math>が集団<math>\boldsymbol{v}\, </math>となって到着する確率を<math>r_\boldsymbol{uv}\,(x) </math>とする.
- 一般に，集団移動型ネットワークの定常分布を求めることは困難である．そこで，理想的な条件を仮定して定常分布が得られるモデルを探す．例えば，局所平衡方程式
+　一般に，集団移動型ネットワークの定常分布を求めることは困難である．そこで，理想的な条件を仮定して定常分布が得られるモデルを探す．例えば，局所平衡方程式
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	'''独立サービス・確率的経路選択ネットワーク''' <math>1\, </math>から<math>N\, </math>までの番号がついた<math>N\, </math>個のノードを持つ[[開放型ネットワーク]]をマルコフ連鎖によりモデル化する．ただし，複数のクラスの客があり，各客はサービス完了後のクラスとノードにのみ依存した確率で次のノードとクラスを[[確率的経路選択\|選択]]するとする．なお，各ノードには，<math>1, 2, \ldots\, </math>と番号のついたサービス位置があり，<math>n\, </math>人の客がいるときには，<math>1, 2, \ldots, n\, </math>のサービス位置を占める．ノード<math>j\, </math>での各サービス位置の客のクラスとサービスの経過時間を表す状態からなるベクトルを<math>\boldsymbol{x}_j\, </math>とする．このとき，ネットワークの状態を<math>\boldsymbol{x} = (\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \ldots, \boldsymbol{x}_N)\, </math>により表す．		'''独立サービス・確率的経路選択ネットワーク''' <math>1\, </math>から<math>N\, </math>までの番号がついた<math>N\, </math>個のノードを持つ[[開放型ネットワーク]]をマルコフ連鎖によりモデル化する．ただし，複数のクラスの客があり，各客はサービス完了後のクラスとノードにのみ依存した確率で次のノードとクラスを[[確率的経路選択\|選択]]するとする．なお，各ノードには，<math>1, 2, \ldots\, </math>と番号のついたサービス位置があり，<math>n\, </math>人の客がいるときには，<math>1, 2, \ldots, n\, </math>のサービス位置を占める．ノード<math>j\, </math>での各サービス位置の客のクラスとサービスの経過時間を表す状態からなるベクトルを<math>\boldsymbol{x}_j\, </math>とする．このとき，ネットワークの状態を<math>\boldsymbol{x} = (\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \ldots, \boldsymbol{x}_N)\, </math>により表す．
−
	このネットワークで, ノード<math>j\, </math>にいるクラス<math>u\, </math>の客の退去推移率を <math>q_{ju}^{\rm{D}}\, </math>, その客が退去後ノード<math>k\, </math>へクラス<math>v\, </math>の客として到着する経路選択確率を <math>r_{ju, kv}\, </math>, ノード<math>k\, </math>での到着推移確率を <math>p_{kv}^{\rm{A}}\, </math> とする. この場合のサービス完了から到着までを表す推移は, ノード<math>j, k\, </math>の状態が<math>\boldsymbol{x}_j, \boldsymbol{x}_k\, </math> から <math>\boldsymbol{x}_j', \boldsymbol{x}_k'\, </math> へ変わったとすると,		このネットワークで, ノード<math>j\, </math>にいるクラス<math>u\, </math>の客の退去推移率を <math>q_{ju}^{\rm{D}}\, </math>, その客が退去後ノード<math>k\, </math>へクラス<math>v\, </math>の客として到着する経路選択確率を <math>r_{ju, kv}\, </math>, ノード<math>k\, </math>での到着推移確率を <math>p_{kv}^{\rm{A}}\, </math> とする. この場合のサービス完了から到着までを表す推移は, ノード<math>j, k\, </math>の状態が<math>\boldsymbol{x}_j, \boldsymbol{x}_k\, </math> から <math>\boldsymbol{x}_j', \boldsymbol{x}_k'\, </math> へ変わったとすると,

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 '''【せきけいしきねっとわーくとなるためのじょうけん (product form solution of queueing network and Markov process) 】'''
-　[[待ち行列ネットワーク]]の定常分布が解析的に求められるのは，[[ジャクソンネットワーク|ジャクソン]]や[[BCMPネットワーク|BCMP]]ネットワークのように[[定常確率|定常分布]]が各ノードの周辺分布の積として表されるとなる場合と，[[集団移動型ネットワーク|集団移動型]]ネットワーク(batch movement network)などで，特殊な[[サービス規律|サービス規律]]を適用した場合などに限られている．後者の場合も定常分布形がある種の積表現をもつので，これらのネットワークを[[積形式ネットワーク]] (product form network)と総称することが多い．マルコフ連鎖（またはマルコフ過程）により表すことができる一般的な待ち行列ネットワークに対して，このような積形式ネットワークとなるための条件が知られている．これらの条件は一般的なマルコフ連鎖の定常分布を求める際にも役立てることができる[[積形式解|積形式]]
+　[[待ち行列ネットワーク]]の定常分布が解析的に求められるのは，[[ジャクソンネットワーク|ジャクソン]]や[[BCMPネットワーク|BCMP]]ネットワークのように[[定常確率|定常分布]]が各ノードの周辺分布の積として表されるとなる場合と，[[集団移動型ネットワーク|集団移動型]]ネットワーク(batch movement network)などで，特殊な[[サービス規律|サービス規律]]を適用した場合などに限られている．後者の場合も定常分布形がある種の積表現をもつので，これらのネットワークを[[積形式ネットワーク]] (product form network)と総称することが多い．マルコフ連鎖（またはマルコフ過程）により表すことができる一般的な待ち行列ネットワークに対して，このような積形式ネットワークとなるための条件が知られている．これらの条件は一般的なマルコフ連鎖の定常分布を求める際にも役立てることができる．
 '''マルコフ過程による記述'''　待ち行列ネットワークは[[マルコフ過程]]によりモデル化することができる. このマルコフ過程には次の2つのタイプがある.

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 \, </math>
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 が, 任意の状態<math>\boldsymbol{x}\, </math>とすべて集団<math>\boldsymbol{u}\, </math>について成り立つならば. 定常分布<math>\pi\, </math>を求めることができる [1]. 特に推移行列{<math>r_\boldsymbol{uv}\, (x)</math>}が<math>\boldsymbol{x}\, </math>に依存しない定常分布<math>\nu\, </math>を持ち，任意に与えた正値関数<math>\Phi\, </math>と非負値関数<math>\Psi\, </math>に対して，状態<math>\boldsymbol{x}\, </math>での<math>\boldsymbol{u}\, </math>の退去率が

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 [1] X. Chao, M. Miyazawa and M. Pinedo, ''Queueing Networks, Customers, Signals and Product form'', John Wiley & Sons, 1999.
-[2] E. Gelenbe, "Product-form Queueing Networks with Negative and Positive Customers" ''Journal of Applied Probability'', '''28''' (1991), 656-663.
+[2] W. Henderson and P. G. Taylor, "Product Form in Networks of Queues with Batch Arrivals and Batch Services," ''Queueing Systems'', '''6''' (1990), 71-88.
-[3] W. Henderson and P. G. Taylor, "Product Form in Networks of Queues with Batch Arrivals and Batch Services," ''Queueing Systems'', '''6''' (1990), 71-88.
+[3] F. P. Kelly, ''Reversibility and Stochastic Networks'', John Wiley & Sons, 1979.
-[4] F. P. Kelly, ''Reversibility and Stochastic Networks'', John Wiley & Sons, 1979.
+[4] J. Walrand, "A Discrete-time Queueing Network," ''Journal of Applied Probability'', '''20''' (1983), 903-909.
-[5] J. Walrand, "A Discrete-time Queueing Network," ''Journal of Applied Probability'', '''20''' (1983), 903-909.
+[5] 宮沢政清, 「待ち行列ネットワークと積形式解」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 442-448.
 [[category:待ち行列ネットワーク|せきけいしきねっとわーくとなるためのじょうけん]]

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 となる定数<math>\beta_{ju}\, </math>が存在することに等しい. 独立サービス・独立経路選択ネットワークにおいて，終端ノードを除きすべてのノードが準可逆であり，外部からの到着がポアソン過程に従うならば，定常分布は積形式となる．ここに，終端ノードとは退去客が外部へのみ退去するノードである．この結果の逆は必ずしも言えないが，客の種類が１つでサービス中や待っている客が途中で退去しないならば，準可逆性は必要条件でもある[1])．
 '''局所平衡式''' BCMPや[[ケリーネットワーク|ケリー]]ネットワークのもう１つの特徴はネットワーク全体の推移率<math>q\, </math>の定常分布<math>\pi\, </math>が次の[[局所平衡方程式]] (local balance equation)を満たすことにある[3]．サービスを受ける位置に番号をつけ, <math>\ell\, </math>にいるクラス<math>u\, </math>の客を<math>(\ell, u)\, </math>とするとき,
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 <math>
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 ::::<math> \ \ \ (\ell, u) \, </math> の客がノード <math> j \, </math>に到着し状態が <math> \boldsymbol{x} \, </math> となる率 <math> \ ) \, </math>
 </center>
 逆に, サービス時間分布が一般の場合にこの方程式が成り立つならば, サービス規律は[[対称型サービス規律|対称型]] である [1]. さらに, 内部推移についても同様な局所平衡方程式が成り立ち, すべての局所平衡方程式を加えると[[大域平衡方程式]] (global balance equation)が得られる. これより, <math>\pi\, </math>が局所平衡方程式を満たせば, 定常分布であることが確認できる. この局所平衡方程式は, 客の残りサービス時間や経過サービス時間が客の配置と独立であることと同値である. 積形式に加えこの独立性が成り立つとき[[2重積形式]] (double product form)を持つという.
 '''逆時間過程''' 局所平衡方程式は一般の積形式ネットワークでは必ずしも成立しない．例えば，到着により客が減る[[負の客]] (negative customer) や負の客が瞬間的に複数のノードを通過するシグナルネットワークも積形式解を持つが局所平衡は成立しない[1]．この種のネットワークの解析には，時間を逆転した確率過程すなわち[[逆過程]] (reversed process)が有効である．一般に[[強定常過程|定常]]なマルコフ連鎖の逆過程もまた定常なマルコフ連鎖となることから，逆過程の推移率を推測できれば，定常分布<math>\pi\, </math>が求められる([5]参照)．逆時間過程は積形式解をもつネットワークを探したり，積形式となることの証明を行う際にも役立つ．
 '''集団移動型ネットワーク''' 複数のノードで同時に到着やサービスがあるネットワークを集団移動型ネットワークモデルと呼ぶ．集団移動型では，一般に状態推移がネットワークの状態全体<math>\boldsymbol{x}\, </math>に依存する．ただし，サービス時間は考えずにネットワークの状態に依存した率で退去が発生するとする．すなわち，集団をベクトル<math>\boldsymbol{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_N)\, </math>で表すとき，<math>\boldsymbol{u}\, </math>の退去がネットワーク状態に依存した率で起こる．この集団<math>\boldsymbol{u}\, </math>が集団<math>\boldsymbol{v}\, </math>となって到着する確率を<math>r_\boldsymbol{uv}\,(x) </math>とする.
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-が, 任意の状態<math>\boldsymbol{x}\, </math>とすべて集団<math>\boldsymbol{u}\, </math>について成り立つならば. 定常分布<math>\pi\, </math>を求めることができる [1].
+が, 任意の状態<math>\boldsymbol{x}\, </math>とすべて集団<math>\boldsymbol{u}\, </math>について成り立つならば. 定常分布<math>\pi\, </math>を求めることができる [1]. 特に推移行列{<math>r_\boldsymbol{uv}\, (x)</math>}が<math>\boldsymbol{x}\, </math>に依存しない定常分布<math>\nu\, </math>を持ち，任意に与えた正値関数<math>\Phi\, </math>と非負値関数<math>\Psi\, </math>に対して，状態<math>\boldsymbol{x}\, </math>での<math>\boldsymbol{u}\, </math>の退去率が
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-であるならば, 局所平衡方程式が成り立ち, 定常確率<math>\pi(\boldsymbol{x})\, </math>は<math>\Phi(\boldsymbol{x})\, </math>に比例する [3]. このネットワークはWalrand [5] の離散時間同期型ネットワークや[[回線交換網]]などを特別な場合として含む. この種のネットワークは, 転送確率<math>r_\boldsymbol{uv} \, </math>がネットワークの状態に依存する場合にも拡張されている [1].
+であるならば, 局所平衡方程式が成り立ち, 定常確率<math>\pi(\boldsymbol{x})\, </math>は<math>\Phi(\boldsymbol{x})\, </math>に比例する [2]. このネットワークはWalrand [4] の離散時間同期型ネットワークや[[回線交換網]]などを特別な場合として含む[1].

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 である. なお, 開放型の場合は, 外部をノード<math>0\, </math>とみなし, ネットワーク状態に取り入れる. ただし, 外部からの到着がポアソン過程に従うならば, ノード<math>0\, </math>からの退去率<math>q_{0u}^{\rm{D}}
    (\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}_0')\, </math>は各<math>u\, </math>に対して定数であり, ノード<math>0\, </math>の状態をネットワーク状態に取り入れる必要はない. このような退去・到着による推移率と内部推移率の総和をネットワーク全体の推移率<math>q\, </math>とすると, <math>q\, </math>はネットワークモデルを表すマルコフ連鎖の推移率である([5]参照).
 <center>
 <math>
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 逆に, サービス時間分布が一般の場合にこの方程式が成り立つならば, サービス規律は[[対称型サービス規律|対称型]] である [1]. さらに, 内部推移についても同様な局所平衡方程式が成り立ち, すべての局所平衡方程式を加えると[[大域平衡方程式]] (global balance equation)が得られる. これより, <math>\pi\, </math>が局所平衡方程式を満たせば, 定常分布であることが確認できる. この局所平衡方程式は, 客の残りサービス時間や経過サービス時間が客の配置と独立であることと同値である. 積形式に加えこの独立性が成り立つとき[[2重積形式]] (double product form)を持つという.
-　局所平衡方程式は, 複数のノードで同時に退去や到着が起こる集団移動型のモデルの解析においても役立つ. このネットワークの状態<math>\boldsymbol{x}\, </math>は各ノードの客数を要素とするベクトルであり, 集団をベクトル<math>\boldsymbol{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_M)\, </math>で表すとき, <math>\boldsymbol{u}\, </math>の退去がネットワーク状態に依存した率で起こる. この集団<math>\boldsymbol{u}\, </math>が集団<math>\boldsymbol{v}\, </math>となって到着する確率を<math>r_\boldsymbol{uv}\, </math>とする. このモデルで, 局所平衡方程式
+'''逆時間過程''' 局所平衡方程式は一般の積形式ネットワークでは必ずしも成立しない．例えば，到着により客が減る[[負の客]] (negative customer) や負の客が瞬間的に複数のノードを通過するシグナルネットワークも積形式解を持つが局所平衡は成立しない[1]．この種のネットワークの解析には，時間を逆転した確率過程すなわち[[逆過程]] (reversed process)が有効である．一般に[[強定常過程|定常]]なマルコフ連鎖の逆過程もまた定常なマルコフ連鎖となることから，逆過程の推移率を推測できれば，定常分布<math>\pi\, </math>が求められる([5]参照)．逆時間過程は積形式解をもつネットワークを探したり，積形式となることの証明を行う際にも役立つ．
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-が, 任意の状態<math>\boldsymbol{x}\, </math>とすべて集団<math>\boldsymbol{u}\, </math>について成り立つならば. 定常分布<math>\pi\, </math>を求めることができる [1]. 例えば, 推移行列{<math>r_\boldsymbol{uv}\, </math>}が定常分布<math>\nu\, </math>を持ち, 任意に与えた正値関数<math>\Phi\, </math>と非負値関数<math>\Psi\, </math>に対して, 状態<math>\boldsymbol{x}\, </math>での<math>\boldsymbol{u}\, </math>の退去率が
+が, 任意の状態<math>\boldsymbol{x}\, </math>とすべて集団<math>\boldsymbol{u}\, </math>について成り立つならば. 定常分布<math>\pi\, </math>を求めることができる [1].
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-'''準可逆性'''　多くの積形式ネットワークでは, 各ノードを切り離し客をポアソン到着させると退去もまたポアソン過程となる. これを[[準可逆性]] (quasi-reversibility)と呼ぶ. ノード<math>j\, </math>の準可逆性は, 切り離してポアソン入力した場合の定常分布を<math>\pi_j\, </math>とすれば, 各クラス<math>u\, </math>に対して,
+なお, 準可逆性を持つネットワークを定常分布が得られるように退去率や到着確率をネットワーク全体の状態に依存する形に拡張する方法も工夫されている[1]

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 :*到着推移確率：[[到着]]による状態変化を条件付き確率で表す部分
+'''独立サービス・確率的経路選択ネットワーク''' <math>1\, </math>から<math>N\, </math>までの番号がついた<math>N\, </math>個のノードを持つ[[開放型ネットワーク]]をマルコフ連鎖によりモデル化する．ただし，複数のクラスの客があり，各客はサービス完了後のクラスとノードにのみ依存した確率で次のノードとクラスを[[確率的経路選択|選択]]するとする．なお，各ノードには，<math>1, 2, \ldots\, </math>と番号のついたサービス位置があり，<math>n\, </math>人の客がいるときには，<math>1, 2, \ldots, n\, </math>のサービス位置を占める．ノード<math>j\, </math>での各サービス位置の客のクラスとサービスの経過時間を表す状態からなるベクトルを<math>\boldsymbol{x}_j\, </math>とする．このとき，ネットワークの状態を<math>\boldsymbol{x} = (\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \ldots, \boldsymbol{x}_N)\, </math>により表す．
 　このネットワークで, ノード<math>j\, </math>にいるクラス<math>u\, </math>の客の退去推移率を <math>q_{ju}^{\rm{D}}\, </math>, その客が退去後ノード<math>k\, </math>へクラス<math>v\, </math>の客として到着する経路選択確率を <math>r_{ju, kv}\, </math>, ノード<math>k\, </math>での到着推移確率を <math>p_{kv}^{\rm{A}}\, </math> とする. この場合のサービス完了から到着までを表す推移は, ノード<math>j, k\, </math>の状態が<math>\boldsymbol{x}_j, \boldsymbol{x}_k\, </math>  から <math>\boldsymbol{x}_j', \boldsymbol{x}_k'\, </math> へ変わったとすると,
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 である. なお, 開放型の場合は, 外部をノード<math>0\, </math>とみなし, ネットワーク状態に取り入れる. ただし, 外部からの到着がポアソン過程に従うならば, ノード<math>0\, </math>からの退去率<math>q_{0u}^{\rm{D}}
-   (\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}_0')\, </math>は各<math>u\, </math>に対して定数であり, ノード<math>0\, </math>の状態をネットワーク状態に取り入れる必要はない. ネットワーク全体の推移率<math>q\, </math>は, このような退去・到着による推移率と内部推移率の総和である([6]参照).
+   (\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}_0')\, </math>は各<math>u\, </math>に対して定数であり, ノード<math>0\, </math>の状態をネットワーク状態に取り入れる必要はない. このような退去・到着による推移率と内部推移率の総和をネットワーク全体の推移率<math>q\, </math>とすると, <math>q\, </math>はネットワークモデルを表すマルコフ連鎖の推移率である([5]参照).
 '''局所平衡'''　BCMPや[[ケリーネットワーク|ケリー]]ネットワークの特徴は, この推移率<math>q\, </math>の定常分布<math>\pi\, </math>が次の[[局所平衡方程式]] (local balance equation)を満たすことにある [4]. サービスを受ける位置に番号をつけ, 位置<math>\ell\, </math>にいるクラス<math>u\, </math>の客を<math>(\ell, u)\, </math>とするとき,