《信頼性》 - 版の履歴

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新しいページ: ''''【しんらいせい (reliability) 】''' 　部品, 機械の故障は日常茶飯事のことであり, 不可避なことである. 機械, システムなどの動作...'

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'''【しんらいせい (reliability) 】'''

　部品, 機械の故障は日常茶飯事のことであり, 不可避なことである. 機械, システムなどの動作・故障特性について扱う分野が信頼性理論 [1, 2, 3] である. 本項においては[[信頼性]] (reliability)について一般的に述べる. より詳しい項目は以下で解説する.

　信頼性用語は日本工業規格 (JIS) により定められているので, その一部を抜粋する.

定義1　アイテム(item)とは「信頼性の対象となるシステム (系) , サブシステム, 機器, 装置, 構成品, 部品, 素子, 要素などの総称またはいずれか」である. システムとは「所定の任務を達成するために選定され, 配列され, 互いに連係して動作する一連のアイテム (ハードウェア, ソフトウェア, 人間要素) の組合せ」である.

　これらの用語は上位アイテム (システム) から下位アイテム (要素) まで階層的な意味で適宜使用される.

　システム (アイテム) が果たすべき仕事が{任務}であり, アイテム間の機能的・物理的な相互関連が{インターフェース}である. アイテムの周囲条件が{環境}である. そのとき[[信頼度]] (reliability) は次のように定義される.

定義2　信頼度とは「アイテムが与えられた条件で規定の期間中, 要求された機能を果たす確率」である.

アイテムが規定の機能を失うことは{故障}であり, 故障状態の形式による分類は{故障モード}であり, 例えば, 断線, 短絡, 折損, 摩耗, 特性の劣化などがある.

定義3　初期故障とは「使用開始後の比較的早い時期に, 設計・製造上の欠点, 使用環境との不適合などによって起こる故障」である. 偶発故障とは「初期故障期間を過ぎ摩耗故障期間に至る以前の時期に, 偶発的に起こる故障」である. 摩耗故障とは「疲労・摩耗・老化現象などによって時間とともに故障率が大きくなる故障」である.

　以下では, 確率変数 $X$ は連続形であると仮定する. 非負の $X$ はあるアイテムの故障が起こるまでの寿命時間 (lifetime) を表す確率変数とする. [[寿命分布]] (lifetime distribution) を

\makebox[20em][c]{$\displaystyle{ F(t) = \Pr\{ X \le t \} }$} (t \ge 0)

としよう. $F(t)$ は時刻 $t$ までに故障する確率を表す. 確率変数 $X$ の残存確率

\makebox[20em][c]{$\displaystyle{ R(t) = 1 - F(t) = \Pr\{ X > t \} }$} (t \ge 0)

は信頼度関数とよばれる. $R(t)$ はアイテムが時刻 $t$ で機能している確率を表す. 確率変数 $X$ の密度は存在すると仮定し,

\makebox[20em][c]{$\displaystyle{ f(t) = \frac{{\rm d} F(t)}{{\rm d}t} }$} ( t \ge 0)

と表す. [[故障率]] (failure rate) あるいはハザード率 (hazard rate) は $R(t) > 0$ と仮定して

\makebox[20em][c]{$\displaystyle{ r(t) = \frac{f(t)}{R(t)} }$} (t \ge 0)

と定義される. ここで,

r(t) {\rm d}t = \Pr\{ t < X \le t + {\rm d}t | X > t\} = \frac{F(t+{\rm d}t) - F(t)}{R(t)}

であることに注意すれば, $r(t) {\rm d}t$ はアイテムが時刻 $t$ で故障していないという条件の下で, 時間区間 $(t, t+{\rm d}t]$ で故障する条件付き確率を表す.

$F(0) = 0$ (すなわち $R(0) = 1$) と仮定すると

r(t) = \frac{-\frac{{\rm d}R(t)}{{\rm d}t}}{R(t)}

となるから, 初期条件 $R(0)=1$ の下でこの微分方程式を解いて

R(t) = \exp \left[ - \int_0^t r(x) {\rm d}x \right]

となる. この $R(t)$ を用いて, 分布および密度関数は

F(t) = 1 - \exp \left[ - \int_0^t r(x) {\rm d}x \right]

f(t) = r(t) \exp \left[ - \int_0^t r(x) {\rm d}x \right]

と書くことができる. したがって, 分布, 密度関数および信頼度はいずれも故障率 $r(t)$ を用いて書き直すことができる. 特に, $\int_0^t r(x) {\rm d}x$ は累積ハザード関数あるいはハザード関数とよばれる.

　一般に, アイテムは時間経過とともに劣化する. この劣化する概念は[[エージング]] (aging) とよばれる. エージングは故障率の増減によって定義される.

定義4　故障率$r(t)$が非減少 (増加あるいは一定) 関数ならば, 寿命時間分布は, {IFR} (increasing failure rate), 一定関数ならば, {CFR} (constant failure rate), 非増加 (減少あるいは一定) 関数ならば, {DFR} (decreasing failure rate)とよばれる.

　一般に, [[確率順序]] (stochastic order) は次のように定義される.

定義5　$X$ および $Y$ は2つの確率変数とする. あらゆる $-\infty < t < \infty$ に対し

\Pr\{ X > t \} \le \Pr\{ Y > t \}

ならば, $X$ は $Y$ より``確率的に小さい" ($X \le_{\rm st} Y$ で表す) という. あるいは, $X \le_{\rm st} Y$ はあらゆる $-\infty < t < \infty$ に対し,

\Pr \{ X \le t \} \ge \Pr\{ Y \le t \}

と同等である. さて, $t \ge 0$ に対して $[T - t | T > t]$ は $T > t$ の条件の下での条件付き確率変数とする. $T$ が IFR であることは, あらゆる $t \le t'$ に対し,

[T - t | T > t] \ge_{\rm st} [T - t' | T > t']

と同等である. DFR についても不等号を反対にすればよい. このようにして, エージングのより一般的な概念を確率順序によって定義できる. 詳しくは Shaked and Shanthikumar [4] 参照.

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'''参考文献'''

[1] R. E. Barlow and F. Proschan, ''Mathematical Theory of Reliability'', SIAM, Philadelphia, PA, 1996.

[2] R. E. Barlow and F. Proschan, ''Statistical Theory of Reliability and Life Testing'', To Begin With, c/o Gordon Pledger, 1142 Hornell Drive, Silver Spring, MD 20904, 1981.

[3] R. E. Barlow, ''Engineering Reliability'', SIAM, Philadelphia, PA, 1998.

[4] M. Shaked and J. G. Shanthikumar, ''Reliability and Maintainability'', in Stochastic Models, D. P. Heyman and M. J. Sobel, eds., North-Holland, 1990. (邦訳, 伊理・今野・刀根監訳, 「確率モデルハンドブック」, 朝倉書店).

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	[4] M. Shaked and J. G. Shanthikumar, ''Reliability and Maintainability'', in Stochastic Models, D. P. Heyman and M. J. Sobel, eds., North-Holland, 1990. (邦訳, 伊理・今野・刀根監訳, 「確率モデルハンドブック」, 朝倉書店).		[4] M. Shaked and J. G. Shanthikumar, ''Reliability and Maintainability'', in Stochastic Models, D. P. Heyman and M. J. Sobel, eds., North-Holland, 1990. (邦訳, 伊理・今野・刀根監訳, 「確率モデルハンドブック」, 朝倉書店).
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		+	[[category:信頼性・保全性\|しんらいせい]]

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+<center>
 F(t) = \mathrm{Pr}\{ X \le t \} \ \ \ \ \ (t \ge 0)
 \, </math>
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-:<math>
+<center>
 R(t) = 1 - F(t) = \mathrm{Pr}\{ X > t \} \ \ \ \ \ (t \ge 0)
 \, </math>
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-:<math>
+<center>
 f(t) = \frac{{\rm d} F(t)}{{\rm d}t} \ \ \ \ \ ( t \ge 0)
 \, </math>
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-:<math>
+<center>
 r(t) = \frac{f(t)}{R(t)} \ \ \ \ \ (t \ge 0)
 \, </math>
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-:<math>
+<center>
 r(t) {\rm d}t = \Pr\{ t < X \le t + {\rm d}t | X > t\} = \frac{F(t+{\rm d}t) - F(t)}{R(t)}
 \, </math>
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-:<math>
+<center>
 r(t) = \frac{-\frac{{\rm d}R(t)}{{\rm d}t}}{R(t)}
 \, </math>
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-:<math>
+<center>
 R(t) = \exp \left[ - \int_0^t r(x) {\rm d}x \right]
 \, </math>
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-:<math>
+<center>
 F(t) = 1 - \exp \left[ - \int_0^t r(x) {\rm d}x \right]
 \, </math>
-:<math>
+<center>
 f(t) = r(t) \exp \left[ - \int_0^t r(x) {\rm d}x \right]
 \, </math>
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-:<math>
+<center>
 \Pr\{ X > t \} \le \Pr\{ Y > t \}
 \, </math>
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-:<math>
+<center>
 \Pr \{ X \le t \} \ge \Pr\{ Y \le t \}
 \, </math>
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-:<math>
+<center>
 [T - t | T > t] \ge_{\rm st} [T - t' | T > t']
 \, </math>

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-　以下では, 確率変数 $<math>X</math>$ は連続形であると仮定する. 非負の $<math>X</math>$ はあるアイテムの故障が起こるまでの寿命時間 (lifetime) を表す確率変数とする. [[寿命分布]] (lifetime distribution) を
+　以下では, 確率変数 <math>X\, </math> は連続形であると仮定する. 非負の <math>X\, </math> はあるアイテムの故障が起こるまでの寿命時間 (lifetime) を表す確率変数とする. [[寿命分布]] (lifetime distribution) を
 :<math>
 F(t) = \mathrm{Pr}\{ X \le t \} \ \ \ \ \ (t \ge 0)
-</math>
+\, </math>
-としよう. $<math>F(t)</math>$ は時刻 $<math>t</math>$ までに故障する確率を表す. 確率変数 $<math>X</math>$ の残存確率
+としよう. <math>F(t)\, </math> は時刻 <math>t\, </math> までに故障する確率を表す. 確率変数 <math>X\, </math> の残存確率
 :<math>
 R(t) = 1 - F(t) = \mathrm{Pr}\{ X > t \} \ \ \ \ \ (t \ge 0)
-</math>
+\, </math>
-は信頼度関数とよばれる. $<math>R(t)</math>$ はアイテムが時刻 $<math>t</math>$ で機能している確率を表す. 確率変数 $<math>X</math>$ の密度は存在すると仮定し,
+は信頼度関数とよばれる. <math>R(t)\, </math> はアイテムが時刻 <math>t\, </math> で機能している確率を表す. 確率変数 <math>X\, </math> の密度は存在すると仮定し,
 :<math>
 f(t) = \frac{{\rm d} F(t)}{{\rm d}t} \ \ \ \ \ ( t \ge 0)
-</math>
+\, </math>
-と表す. [[故障率]] (failure rate) あるいはハザード率 (hazard rate) は $<math>R(t) > 0</math>$ と仮定して
+と表す. [[故障率]] (failure rate) あるいはハザード率 (hazard rate) は <math>R(t) > 0\, </math> と仮定して
 :<math>
 r(t) = \frac{f(t)}{R(t)} \ \ \ \ \ (t \ge 0)
-</math>
+\, </math>
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 :<math>
 r(t) {\rm d}t = \Pr\{ t < X \le t + {\rm d}t | X > t\} = \frac{F(t+{\rm d}t) - F(t)}{R(t)}
-</math>
+\, </math>
-であることに注意すれば, $<math>r(t) {\rm d}t</math>$ はアイテムが時刻 $<math>t</math>$ で故障していないという条件の下で, 時間区間 $<math>(t, t+{\rm d}t]</math>$ で故障する条件付き確率を表す.
+であることに注意すれば, <math>r(t) {\rm d}t\, </math> はアイテムが時刻 <math>t\, </math> で故障していないという条件の下で, 時間区間 <math>(t, t+{\rm d}t]\, </math> で故障する条件付き確率を表す.
-　$<math>F(0) = 0</math>$  (すなわち $<math>R(0) = 1</math>$) と仮定すると
+　<math>F(0) = 0\, </math>  (すなわち <math>R(0) = 1\, </math>) と仮定すると
 :<math>
 r(t) = \frac{-\frac{{\rm d}R(t)}{{\rm d}t}}{R(t)}
-</math>
+\, </math>
-となるから, 初期条件 $<math>R(0)=1</math>$ の下でこの微分方程式を解いて
+となるから, 初期条件 <math>R(0)=1\, </math> の下でこの微分方程式を解いて
 :<math>
 R(t) = \exp \left[ - \int_0^t r(x) {\rm d}x \right]
-</math>
+\, </math>
-となる. この $<math>R(t)</math>$ を用いて, 分布および密度関数は
+となる. この <math>R(t)\, </math> を用いて, 分布および密度関数は
 :<math>
 F(t) = 1 - \exp \left[ - \int_0^t r(x) {\rm d}x \right]
-</math>
+\, </math>
 :<math>
 f(t) = r(t) \exp \left[ - \int_0^t r(x) {\rm d}x \right]
-</math>
+\, </math>
-と書くことができる. したがって, 分布, 密度関数および信頼度はいずれも故障率 $<math>r(t)</math>$ を用いて書き直すことができる. 特に, $<math>\int_0^t r(x) {\rm d}x</math>$ は累積ハザード関数あるいはハザード関数とよばれる.
+と書くことができる. したがって, 分布, 密度関数および信頼度はいずれも故障率 <math>r(t)\, </math> を用いて書き直すことができる. 特に, <math>\textstyle \int_0^t r(x) {\rm d}x\, </math> は累積ハザード関数あるいはハザード関数とよばれる.
 　一般に, アイテムは時間経過とともに劣化する. この劣化する概念は[[エージング]] (aging) とよばれる. エージングは故障率の増減によって定義される.
-定義4　故障率$<math>r(t)</math>$が非減少 (増加あるいは一定) 関数ならば, 寿命時間分布は, {IFR} (increasing failure rate), 一定関数ならば, {CFR} (constant failure rate), 非増加 (減少あるいは一定) 関数ならば, {DFR} (decreasing failure rate)とよばれる.
+定義4　故障率<math>r(t)\, </math>が非減少 (増加あるいは一定) 関数ならば, 寿命時間分布は, <math>\rm{IFR} \, </math> (increasing failure rate), 一定関数ならば, <math>\rm{CFR}\, </math> (constant failure rate), 非増加 (減少あるいは一定) 関数ならば, <math>\rm{DFR}\, </math> (decreasing failure rate)とよばれる.
 　一般に, [[確率順序]] (stochastic order) は次のように定義される.
-定義5　$<math>X</math>$ および $<math>Y</math>$ は2つの確率変数とする. あらゆる $<math>-\infty < t < \infty</math>$ に対し
+定義5　<math>X\, </math> および <math>Y\, </math> は2つの確率変数とする. あらゆる <math>-\infty < t < \infty\, </math> に対し
 :<math>
 \Pr\{ X > t \} \le \Pr\{ Y > t \}
-</math>
+\, </math>
-ならば, $<math>X</math>$ は $<math>Y</math>$ より"確率的に小さい"  ($<math>X \le_{\rm st} Y</math>$ で表す) という. あるいは, $<math>X \le_{\rm st} Y</math>$ はあらゆる $<math>-\infty < t < \infty</math>$ に対し,
+ならば, <math>X\, </math> は <math>Y\, </math> より"確率的に小さい"  (<math>X \le_{\rm st} Y\, </math> で表す) という. あるいは, <math>X \le_{\rm st} Y\, </math> はあらゆる <math>-\infty < t < \infty\, </math> に対し,
 :<math>
 \Pr \{ X \le t \} \ge \Pr\{ Y \le t \}
-</math>
+\, </math>
-と同等である. さて, $<math>t \ge 0</math>$ に対して $<math>[T - t | T > t]</math>$ は $<math>T > t</math>$ の条件の下での条件付き確率変数とする. $<math>T</math>$ が IFR であることは, あらゆる $<math>t \le t'</math>$ に対し,
+と同等である. さて, <math>t \ge 0\, </math> に対して <math>[T - t | T > t]\, </math> は <math>T > t\, </math> の条件の下での条件付き確率変数とする. <math>T\, </math> が IFR であることは, あらゆる <math>t \le t'\, </math> に対し,
 :<math>
 [T - t | T > t] \ge_{\rm st} [T - t' | T > t']
-</math>
+\, </math>

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	であることに注意すれば, $<math>r(t) {\rm d}t</math>$ はアイテムが時刻 $<math>t</math>$ で故障していないという条件の下で, 時間区間 $<math>(t, t+{\rm d}t]</math>$ で故障する条件付き確率を表す.		であることに注意すれば, $<math>r(t) {\rm d}t</math>$ はアイテムが時刻 $<math>t</math>$ で故障していないという条件の下で, 時間区間 $<math>(t, t+{\rm d}t]</math>$ で故障する条件付き確率を表す.

−	$F(0) = 0$ (すなわち $R(0) = 1$) と仮定すると	+	$<math>F(0) = 0</math>$ (すなわち $<math>R(0) = 1</math>$) と仮定すると

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-　以下では, 確率変数 $X$ は連続形であると仮定する. 非負の $X$ はあるアイテムの故障が起こるまでの寿命時間 (lifetime) を表す確率変数とする. [[寿命分布]] (lifetime distribution) を
+　以下では, 確率変数 $<math>X</math>$ は連続形であると仮定する. 非負の $<math>X</math>$ はあるアイテムの故障が起こるまでの寿命時間 (lifetime) を表す確率変数とする. [[寿命分布]] (lifetime distribution) を
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-としよう. $F(t)$ は時刻 $t$ までに故障する確率を表す. 確率変数 $X$ の残存確率
+としよう. $<math>F(t)</math>$ は時刻 $<math>t</math>$ までに故障する確率を表す. 確率変数 $<math>X</math>$ の残存確率
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-は信頼度関数とよばれる. $R(t)$ はアイテムが時刻 $t$ で機能している確率を表す. 確率変数 $X$ の密度は存在すると仮定し,
+は信頼度関数とよばれる. $<math>R(t)</math>$ はアイテムが時刻 $<math>t</math>$ で機能している確率を表す. 確率変数 $<math>X</math>$ の密度は存在すると仮定し,
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-と表す. [[故障率]] (failure rate) あるいはハザード率 (hazard rate) は $R(t) > 0$ と仮定して
+と表す. [[故障率]] (failure rate) あるいはハザード率 (hazard rate) は $<math>R(t) > 0</math>$ と仮定して
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-であることに注意すれば, $r(t) {\rm d}t$ はアイテムが時刻 $t$ で故障していないという条件の下で, 時間区間 $(t, t+{\rm d}t]$ で故障する条件付き確率を表す.
+であることに注意すれば, $<math>r(t) {\rm d}t</math>$ はアイテムが時刻 $<math>t</math>$ で故障していないという条件の下で, 時間区間 $<math>(t, t+{\rm d}t]</math>$ で故障する条件付き確率を表す.
 　$F(0) = 0$  (すなわち $R(0) = 1$) と仮定すると
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-となるから, 初期条件 $R(0)=1$ の下でこの微分方程式を解いて
+となるから, 初期条件 $<math>R(0)=1</math>$ の下でこの微分方程式を解いて
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-となる. この $R(t)$ を用いて, 分布および密度関数は
+となる. この $<math>R(t)</math>$ を用いて, 分布および密度関数は
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-と書くことができる. したがって, 分布, 密度関数および信頼度はいずれも故障率 $r(t)$ を用いて書き直すことができる. 特に, $\int_0^t r(x) {\rm d}x$ は累積ハザード関数あるいはハザード関数とよばれる.
+と書くことができる. したがって, 分布, 密度関数および信頼度はいずれも故障率 $<math>r(t)</math>$ を用いて書き直すことができる. 特に, $<math>\int_0^t r(x) {\rm d}x</math>$ は累積ハザード関数あるいはハザード関数とよばれる.
 　一般に, アイテムは時間経過とともに劣化する. この劣化する概念は[[エージング]] (aging) とよばれる. エージングは故障率の増減によって定義される.
-定義4　故障率$r(t)$が非減少 (増加あるいは一定) 関数ならば, 寿命時間分布は, {IFR} (increasing failure rate), 一定関数ならば, {CFR} (constant failure rate), 非増加 (減少あるいは一定) 関数ならば, {DFR} (decreasing failure rate)とよばれる.
+定義4　故障率$<math>r(t)</math>$が非減少 (増加あるいは一定) 関数ならば, 寿命時間分布は, {IFR} (increasing failure rate), 一定関数ならば, {CFR} (constant failure rate), 非増加 (減少あるいは一定) 関数ならば, {DFR} (decreasing failure rate)とよばれる.
 　一般に, [[確率順序]] (stochastic order) は次のように定義される.
-定義5　$X$ および $Y$ は2つの確率変数とする. あらゆる $-\infty < t < \infty$ に対し
+定義5　$<math>X</math>$ および $<math>Y</math>$ は2つの確率変数とする. あらゆる $<math>-\infty < t < \infty</math>$ に対し
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-ならば, $X$ は $Y$ より``確率的に小さい"  ($X \le_{\rm st} Y$ で表す) という. あるいは, $X \le_{\rm st} Y$ はあらゆる $-\infty < t < \infty$ に対し,
+ならば, $<math>X</math>$ は $<math>Y</math>$ より"確率的に小さい"  ($<math>X \le_{\rm st} Y</math>$ で表す) という. あるいは, $<math>X \le_{\rm st} Y</math>$ はあらゆる $<math>-\infty < t < \infty</math>$ に対し,
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-と同等である. さて, $t \ge 0$ に対して $[T - t | T > t]$ は $T > t$ の条件の下での条件付き確率変数とする. $T$ が IFR であることは, あらゆる $t \le t'$ に対し,
+と同等である. さて, $<math>t \ge 0</math>$ に対して $<math>[T - t | T > t]</math>$ は $<math>T > t</math>$ の条件の下での条件付き確率変数とする. $<math>T</math>$ が IFR であることは, あらゆる $<math>t \le t'</math>$ に対し,

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