《マルコフ連鎖の数値解法》 - 版の履歴

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	[5] W. K. Grassmann (ed.), ''Computational Probability'', Kluwer Academic Publishers, 2000.		[5] W. K. Grassmann (ed.), ''Computational Probability'', Kluwer Academic Publishers, 2000.
		+
		+	[[category:確率と確率過程\|まるこふれんさのすうちかいほう]]

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 【まるこふれんさのすうちかいほう (numerical methods for Markov chain and queue) 】
-'''マルコフ連鎖の数値解法'''　[[マルコフ連鎖]]をマルコフ連鎖の[[マルコフ連鎖の数値解法|数値的]]に解析する際の中心的な対象は[[定常分布]]である. [[状態空間|有限状態空間]] <math>{\mathcal S}=\{ 1, 2, \ldots, N \}\, </math> 上の[[既約]]で非周期的な (つまり[[エルゴード的マルコフ連鎖|エルゴード的]]) マルコフ連鎖を考え, その[[推移確率行列]]を<math>\boldsymbol{P}=(p_{ij})\, </math>, 定常分布を <math>\boldsymbol{\pi}=(\pi_1, \pi_2,\ldots,\pi_N)\, </math> とする. [[一様化]]により, 連続時間マルコフ連鎖の定常分布は, 離散時間マルコフ連鎖の定常分布として計算できるので, 以下では離散時間マルコフ連鎖に限定して考える.
+　[[マルコフ連鎖]]をマルコフ連鎖の[[マルコフ連鎖の数値解法|数値的]]に解析する際の中心的な対象は[[定常分布]]である. [[状態空間|有限状態空間]] <math>{\mathcal S}=\{ 1, 2, \ldots, N \}\, </math> 上の[[既約]]で非周期的な (つまり[[エルゴード的マルコフ連鎖|エルゴード的]]) マルコフ連鎖を考え, その[[推移確率行列]]を<math>\boldsymbol{P}=(p_{ij})\, </math>, 定常分布を <math>\boldsymbol{\pi}=(\pi_1, \pi_2,\ldots,\pi_N)\, </math> とする. [[一様化]]により, 連続時間マルコフ連鎖の定常分布は, 離散時間マルコフ連鎖の定常分布として計算できるので, 以下では離散時間マルコフ連鎖に限定して考える.
 　エルゴード的なマルコフ連鎖では, 定常分布は

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−	~~【まるこふれんさとまちぎょうれつのすうちかいほう~~ (numerical methods for Markov chain and queue) 】	+	【まるこふれんさのすうちかいほう (numerical methods for Markov chain and queue) 】

	'''マルコフ連鎖の数値解法'''　[[マルコフ連鎖]]をマルコフ連鎖の[[マルコフ連鎖の数値解法\|数値的]]に解析する際の中心的な対象は[[定常分布]]である. [[状態空間\|有限状態空間]] <math>{\mathcal S}=\{ 1, 2, \ldots, N \}\, </math> 上の[[既約]]で非周期的な (つまり[[エルゴード的マルコフ連鎖\|エルゴード的]]) マルコフ連鎖を考え, その[[推移確率行列]]を<math>\boldsymbol{P}=(p_{ij})\, </math>, 定常分布を <math>\boldsymbol{\pi}=(\pi_1, \pi_2,\ldots,\pi_N)\, </math> とする. [[一様化]]により, 連続時間マルコフ連鎖の定常分布は, 離散時間マルコフ連鎖の定常分布として計算できるので, 以下では離散時間マルコフ連鎖に限定して考える.		'''マルコフ連鎖の数値解法'''　[[マルコフ連鎖]]をマルコフ連鎖の[[マルコフ連鎖の数値解法\|数値的]]に解析する際の中心的な対象は[[定常分布]]である. [[状態空間\|有限状態空間]] <math>{\mathcal S}=\{ 1, 2, \ldots, N \}\, </math> 上の[[既約]]で非周期的な (つまり[[エルゴード的マルコフ連鎖\|エルゴード的]]) マルコフ連鎖を考え, その[[推移確率行列]]を<math>\boldsymbol{P}=(p_{ij})\, </math>, 定常分布を <math>\boldsymbol{\pi}=(\pi_1, \pi_2,\ldots,\pi_N)\, </math> とする. [[一様化]]により, 連続時間マルコフ連鎖の定常分布は, 離散時間マルコフ連鎖の定常分布として計算できるので, 以下では離散時間マルコフ連鎖に限定して考える.

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−	'''構造化されたマルコフ連鎖'''　確率モデル, 特に待ち行列モデルから派生するマルコフ連鎖には, 何らかの構造を持つものが多いため, その構造を利用した数値計算法が開発されている. 代表例として, [[相型待ち行列]]に対する[[行列幾何形式解]]を考えよう. [[到着過程]]や[[サービス時間分布\|サービス過程]]}に[[マルコフ型到着過程]]や[[~~相の方法\|~~相型分布]]を導入することで, 広い範囲の待ち行列モデルは準出生死滅過程 (quasi-birth-and-death process) を含むGI/M/1型, あるいはM/G/1型マルコフ過程などの構造化されたマルコフ連鎖で表現することができる. このうち, GI/M/1型マルコフ連鎖は, レベル <math>n\; (=0,1,\ldots)\, </math> と相 <math>i\;(=1,\ldots,d)\, </math> の組 <math>(n,i)\, </math> によって状態が表されるマルコフ連鎖で, 1回の[[推移]]では高々1つ上のレベルまでしか推移せず, またレベル <math>n\, </math> の状態からレベル <math>m\; (m\le n+1)\, </math> の状態への推移確率 (または推移速度) がレベルの差 <math>m-n\, </math> と各状態の相によって決まる性質を持っている. レベル <math>n\, </math> の状態の定常確率ベクトルを <math>\boldsymbol{\pi}_n=(\pi_{n,1}, \ldots, \pi_{n,d})\, </math> で表すと, 行列幾何形式解より, [[公比行列]] <math>\boldsymbol{R}\, </math> を用いて	+	'''構造化されたマルコフ連鎖'''　確率モデル, 特に待ち行列モデルから派生するマルコフ連鎖には, 何らかの構造を持つものが多いため, その構造を利用した数値計算法が開発されている. 代表例として, [[相の方法\|相型待ち行列]]に対する[[行列幾何形式解]]を考えよう. [[到着過程]]や[[サービス時間分布\|サービス過程]]}に[[マルコフ型到着過程]]や[[相型分布]]を導入することで, 広い範囲の待ち行列モデルは準出生死滅過程 (quasi-birth-and-death process) を含むGI/M/1型, あるいはM/G/1型マルコフ過程などの構造化されたマルコフ連鎖で表現することができる. このうち, GI/M/1型マルコフ連鎖は, レベル <math>n\; (=0,1,\ldots)\, </math> と相 <math>i\;(=1,\ldots,d)\, </math> の組 <math>(n,i)\, </math> によって状態が表されるマルコフ連鎖で, 1回の[[推移]]では高々1つ上のレベルまでしか推移せず, またレベル <math>n\, </math> の状態からレベル <math>m\; (m\le n+1)\, </math> の状態への推移確率 (または推移速度) がレベルの差 <math>m-n\, </math> と各状態の相によって決まる性質を持っている. レベル <math>n\, </math> の状態の定常確率ベクトルを <math>\boldsymbol{\pi}_n=(\pi_{n,1}, \ldots, \pi_{n,d})\, </math> で表すと, 行列幾何形式解より, [[公比行列]] <math>\boldsymbol{R}\, </math> を用いて

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 【まるこふれんさとまちぎょうれつのすうちかいほう (numerical methods for Markov chain and queue) 】
-'''マルコフ連鎖の数値解法'''　[[マルコフ連鎖]]をマルコフ連鎖の[[数値的]]に解析する際の中心的な対象は[[定常分布]]である. [[有限状態空間]] <math>{\mathcal S}=\{ 1, 2, \ldots, N \}\, </math> 上の[[既約]]で非周期的な (つまり[[エルゴード的]]) マルコフ連鎖を考え, その[[推移確率行列]]を<math>\boldsymbol{P}=(p_{ij})\, </math>, 定常分布を <math>\boldsymbol{\pi}=(\pi_1, \pi_2,\ldots,\pi_N)\, </math> とする. [[一様化]]により, 連続時間マルコフ連鎖の定常分布は, 離散時間マルコフ連鎖の定常分布として計算できるので, 以下では離散時間マルコフ連鎖に限定して考える.
+'''マルコフ連鎖の数値解法'''　[[マルコフ連鎖]]をマルコフ連鎖の[[マルコフ連鎖の数値解法|数値的]]に解析する際の中心的な対象は[[定常分布]]である. [[状態空間|有限状態空間]] <math>{\mathcal S}=\{ 1, 2, \ldots, N \}\, </math> 上の[[既約]]で非周期的な (つまり[[エルゴード的マルコフ連鎖|エルゴード的]]) マルコフ連鎖を考え, その[[推移確率行列]]を<math>\boldsymbol{P}=(p_{ij})\, </math>, 定常分布を <math>\boldsymbol{\pi}=(\pi_1, \pi_2,\ldots,\pi_N)\, </math> とする. [[一様化]]により, 連続時間マルコフ連鎖の定常分布は, 離散時間マルコフ連鎖の定常分布として計算できるので, 以下では離散時間マルコフ連鎖に限定して考える.
 　エルゴード的なマルコフ連鎖では, 定常分布は
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-'''構造化されたマルコフ連鎖'''　確率モデル, 特に待ち行列モデルから派生するマルコフ連鎖には, 何らかの構造を持つものが多いため, その構造を利用した数値計算法が開発されている. 代表例として, [[相型待ち行列]]に対する[[行列幾何形式解]]を考えよう. [[到着過程]]や[[サービス過程]]}に[[マルコフ型到着過程]]や[[相型分布]]を導入することで, 広い範囲の待ち行列モデルは準出生死滅過程 (quasi-birth-and-death process) を含むGI/M/1型, あるいはM/G/1型マルコフ過程などの構造化されたマルコフ連鎖で表現することができる. このうち, GI/M/1型マルコフ連鎖は, レベル <math>n\; (=0,1,\ldots)\, </math> と相 <math>i\;(=1,\ldots,d)\, </math> の組 <math>(n,i)\, </math> によって状態が表されるマルコフ連鎖で, 1回の[[推移]]では高々1つ上のレベルまでしか推移せず, またレベル <math>n\, </math> の状態からレベル <math>m\; (m\le n+1)\, </math> の状態への推移確率 (または推移速度) がレベルの差 <math>m-n\, </math> と各状態の相によって決まる性質を持っている. レベル <math>n\, </math> の状態の定常確率ベクトルを <math>\boldsymbol{\pi}_n=(\pi_{n,1}, \ldots, \pi_{n,d})\, </math> で表すと, 行列幾何形式解より, [[公比行列]] <math>\boldsymbol{R}\, </math> を用いて
+'''構造化されたマルコフ連鎖'''　確率モデル, 特に待ち行列モデルから派生するマルコフ連鎖には, 何らかの構造を持つものが多いため, その構造を利用した数値計算法が開発されている. 代表例として, [[相型待ち行列]]に対する[[行列幾何形式解]]を考えよう. [[到着過程]]や[[サービス時間分布|サービス過程]]}に[[マルコフ型到着過程]]や[[相の方法|相型分布]]を導入することで, 広い範囲の待ち行列モデルは準出生死滅過程 (quasi-birth-and-death process) を含むGI/M/1型, あるいはM/G/1型マルコフ過程などの構造化されたマルコフ連鎖で表現することができる. このうち, GI/M/1型マルコフ連鎖は, レベル <math>n\; (=0,1,\ldots)\, </math> と相 <math>i\;(=1,\ldots,d)\, </math> の組 <math>(n,i)\, </math> によって状態が表されるマルコフ連鎖で, 1回の[[推移]]では高々1つ上のレベルまでしか推移せず, またレベル <math>n\, </math> の状態からレベル <math>m\; (m\le n+1)\, </math> の状態への推移確率 (または推移速度) がレベルの差 <math>m-n\, </math> と各状態の相によって決まる性質を持っている. レベル <math>n\, </math> の状態の定常確率ベクトルを <math>\boldsymbol{\pi}_n=(\pi_{n,1}, \ldots, \pi_{n,d})\, </math> で表すと, 行列幾何形式解より, [[公比行列]] <math>\boldsymbol{R}\, </math> を用いて

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-:(平衡方程式) <center><math>
+<table align="center">
-  \ \qquad \pi_j = \sum_{i=1}^N \pi_i p_{ij}, \quad j=1, 2, \ldots,N,
+<tr>
-\, </math>　　　　　<math>(1)\,</math>
+<td width="100">(平衡方程式)　</td>
-</center>
+<td><math>\pi_j = \sum_{i=1}^N \pi_i p_{ij}, \quad j=1, 2, \ldots,N, \qquad
+\, </math></td>
-:(正規化条件) <center><math>
+<td  width="100" align="right"><math>(1)\,</math></td>
-  \ \qquad \sum_{j=1}^N \pi_j = 1
+</tr>
-\, </math>　　　　　<math>(2)\,</math>
+<tr>
-</center>
+<td width="100">(正規化条件)　</td>

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 :(平衡方程式) <math>
    \ \qquad \pi_j = \sum_{i=1}^N \pi_i p_{ij}, \quad j=1, 2, \ldots,N,
 \, </math>　　　　　<math>(1)\,</math>
-:(正規化条件) <math>
+:(正規化条件) <center><math>
    \ \qquad \sum_{j=1}^N \pi_j = 1
 \, </math>　　　　　<math>(2)\,</math>
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-:<math>
+<center>
    \pi_j^{(k)} = \sum_{i=1}^N \pi_i^{(k-1)} p_{ij}, \quad
    j=1, 2, \ldots,N
 </math>
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-:<math>
+<center>
    \pi_j^{(k)} = \frac{ \sum_{i=1}^{j-1} \pi_i^{(k)} p_{ij}
                + \sum_{i=j+1}^{N} \pi_i^{(k-1)} p_{ij} }{1-p_{jj}},
    \quad j=1, 2, \ldots,N
 </math>
@@ 40行目: / 47行目: @@
-:<math>
+<center>
    \pi_j^{(k)} = \frac{ \omega \sum_{i=1}^{j-1} \pi_i^{(k)} p_{ij}
                + (1-\omega) \pi_j^{(k-1)} p_{jj}
@@ 46行目: / 54行目: @@
    \quad j=1, 2, \ldots,N
 </math>
@@ 62行目: / 71行目: @@
-:<math>
+<center>
    \mathbf{\pi}_n = \mathbf{\pi}_0
    \mathbf{R}^n, \quad n=1,2,\ldots
 </math>　　　　　<math>(3)\,</math>