《ゲームの解の計算》 - 版の履歴

2007年8月9日 (木) 05:48にOrsjwikiによる

2007-08-09T05:48:04Z

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2007年8月6日 (月) 17:38にKuwashimaによる

2007-08-06T17:38:18Z

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2007-07-19T13:31:56Z

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2007年7月18日 (水) 08:29に122.17.2.240による

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2007年7月18日 (水) 07:05にOrsjwikiによる

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2007年7月16日 (月) 14:42に220.104.197.230による

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2007年7月16日 (月) 14:41に220.104.197.230による

2007-07-16T14:41:07Z

2007年7月12日 (木) 11:27に122.17.2.240による

2007-07-12T11:27:05Z

2007年7月12日 (木) 09:14に122.17.2.240による

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−	~~[[スタイル検討#ゲームの解の計算 (0079-a-g-11-2)\|スタイル検討]]~~
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	[[画像:sk-0079-a-g-11-1.png]]		[[画像:sk-0079-a-g-11-1.png]]

−	~~[[スタイル検討#ゲームの解の計算 (0079-a-g-11-1)\|スタイル検討]]~~
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← 古い版		2007年8月6日 (月) 17:38時点における版
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	[7] Z. -F. Yang, ''Computing Equilibria and Fixed Points'', Kluwer Academic Publishers, 1999.		[7] Z. -F. Yang, ''Computing Equilibria and Fixed Points'', Kluwer Academic Publishers, 1999.
		+
		+	[[category:ゲーム理論\|げーむのかいのけいさん]]

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 [[スタイル検討#ゲームの解の計算 (0079-a-g-11-1)|スタイル検討]]
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 [[スタイル検討#ゲームの解の計算 (0079-a-g-11-2)|スタイル検討]]
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 [[スタイル検討#ゲームの解の計算 (0079-a-g-11-1)|スタイル検討]]
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 [[スタイル検討#ゲームの解の計算 (0079-a-g-11-2)|スタイル検討]]
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(相違点なし)

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 問題<math>P_1\, </math>の最適解において,   <math>e \leq 0\, </math> となっているならば, ゲーム<math>(N, v)\, </math>のコアは空集合ではなく,  <math>e \leq 0\, </math> を満たす実行可能解すべてからなる集合がコアとなる. また,  コアが空であろうと非空であろうと, 問題<math>P_1\, </math>の最適解の全体はゲーム<math>(N, v)\, \, </math>の[[最小コア (ゲーム理論の)|最小コア]]になる.
-　[[仁]]は, 線形計画問題を繰り返し解く[[コペロウィッツ (A. Kopelowitz)のアルゴリズム]] (Kopelowitz' algorithm) [2] によって求められる. まず,  問題<math>P_1\, </math>の最適解における<math>e\, </math>の値を<math>e_1\, </math>とする. もしも最適解が唯一でない場合は, すべての最適解を求め, 不等式制約条件がその全最適解において等号で成立しているような<math>S\, </math>の族を<math>A_1\, </math>とおく. さらに, <math>A_1\, </math>に含まれるすべての<math>S\, </math>に対して問題<math>P_1\, </math>の制約式 <math>x(S) + e \geq v(S)\, </math> を <math>x(S) + e_1 = v(S)\, </math> に置き換えて新たな問題<math>P_2\, </math>をつくり, その最適解を求める. このプロセスを繰り返し, あるステップで, 最適解が唯一であればそれが仁の配分である. このアルゴリズムは<math>n-1\, </math>回以内の繰り返しで必ず終了する. ただし, 1回の繰り返しの中での計算量は膨大になることがある. 仁のより効率的な計算方法については, [1], [5] を参照.
+　[[仁]]は, 線形計画問題を繰り返し解く[[コペロウィッツのアルゴリズム]] (Kopelowitz' algorithm) [2] によって求められる. まず,  問題<math>P_1\, </math>の最適解における<math>e\, </math>の値を<math>e_1\, </math>とする. もしも最適解が唯一でない場合は, すべての最適解を求め, 不等式制約条件がその全最適解において等号で成立しているような<math>S\, </math>の族を<math>A_1\, </math>とおく. さらに, <math>A_1\, </math>に含まれるすべての<math>S\, </math>に対して問題<math>P_1\, </math>の制約式 <math>x(S) + e \geq v(S)\, </math> を <math>x(S) + e_1 = v(S)\, </math> に置き換えて新たな問題<math>P_2\, </math>をつくり, その最適解を求める. このプロセスを繰り返し, あるステップで, 最適解が唯一であればそれが仁の配分である. このアルゴリズムは<math>n-1\, </math>回以内の繰り返しで必ず終了する. ただし, 1回の繰り返しの中での計算量は膨大になることがある. 仁のより効率的な計算方法については, [1], [5] を参照.
 　[[シャープレイ値]]の計算方法については, [3] を参照.

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-:[[スタイル検討#ゲームの解の計算 (0079-a-g-11-1)|スタイル検討]]
+<center>
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-:<math>\begin{array}{ll}
+<center>
      \mbox{maximize}   & v \\
      \mbox{subject to} & a_{1j}p_1 + a_{2j}p_2 + \ldots + a_{mj}p_m \geq v  \  (j = 1, 2, \ldots, n), \\
                        & p_1 + p_2 + \ldots + p_m = 1,\;\;  p_1,  p_2,  \ldots, p_m \geq 0.
      \end{array}\, </math>
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-:<math>\max_{0 \leq p_1 \leq 1} \min
+<center>
                 \{a_{11}p_1 + a_{21}(1-p_1),  a_{12}p_1 + a_{22}(1-p_1),
                   \ldots ,  a_{1n}p_1 + a_{2n}(1-p_1) \}\, </math>
@@ 34行目: / 40行目: @@
-:[[スタイル検討#ゲームの解の計算 (0079-a-g-11-2)|スタイル検討]]
+<center>
@@ 58行目: / 66行目: @@
-:<math>\begin{array}{lll}
+<center>
      \mbox{minimize}   & e \\
      \mbox{subject to} & x(S) + e \geq v(S) &
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                        & x(N) = v(N).
      \end{array}\, </math>

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-<center><table><tr><td align=center>[[画像:0079-a-g-11fig.gif|center|図１：2人ゲームのマックスミニ戦略およびナッシュ均衡の計算
+<center><table><tr><td align=center>[[画像:0079-a-g-11fig.png|center|図１：2人ゲームのマックスミニ戦略およびナッシュ均衡の計算]]</td></tr>
 <td align=center>図１：2人ゲームのマックスミニ戦略およびナッシュ均衡の計算
 </td></table></center>

@@ 6行目: / 6行目: @@
-:<math>\begin{array}{c|ccc}
+:[[スタイル検討#ゲームの解の計算 (0079-a-g-11-1)|スタイル検討]]
@@ 39行目: / 34行目: @@
-:<math>\begin{array}{c|cc}
+:[[スタイル検討#ゲームの解の計算 (0079-a-g-11-2)|スタイル検討]]
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-図１：2人ゲームのマックスミニ戦略およびナッシュ均衡の計算
+<center><table><tr><td align=center>[[画像:0079-a-g-11fig.gif|center|図１：2人ゲームのマックスミニ戦略およびナッシュ均衡の計算
+]]</td></tr>
 　[[ナッシュ均衡]]は両者の最適反応の交点 (図１(b)の3つの交点) で与えられるから, この場合には, 純戦略に対応する <math>p=q=1\, </math> と <math>p=q=0\, </math> および,  <math>A_1 = A_2\, </math> かつ <math>B_1 = B_2\, </math> を満たす混合戦略に対応する <math>p=(b_{22}-b_{21})/(b_{11}-b_{12} + b_{22}-b_{21})\, </math> ,  <math>q=(a_{12}-a_{22})/(a_{21}-a_{11} + a_{12}-a_{22})\, </math> の合計3通りのナッシュ均衡が存在する.   <math>a_{11}>a_{21},  a_{12}<a_{22},  b_{11}>b_{12},  b_{21}<b_{22}\, </math>以外の場合など, 詳しくは, 例えば [4] を参照.
-　<math>2 \times 2\, </math> よりも大きな利得行列をもつ2人非ゼロ和ゲームのナッシュ均衡を求める方法としては, [[シャープレイ(L. S. Shapley)のラベル法 シャープレイのラベル法|シャープレイ(L. S. Shapley)のラベル法 シャープレイのラベル法]](Shapley's labelling method) [6] がある. <math>3\, </math>人以上のプレイヤーからなる[[戦略形ゲーム]]においては, [[不動点アルゴリズム]]を用いて, ナッシュ均衡の近似値を計算することができる. [7] を参照.
+　<math>2 \times 2\, </math> よりも大きな利得行列をもつ2人非ゼロ和ゲームのナッシュ均衡を求める方法としては, [[シャープレイのラベル法|シャープレイ(L. S. Shapley)のラベル法]](Shapley's labelling method) [6] がある. <math>3\, </math>人以上のプレイヤーからなる[[戦略形ゲーム]]においては, [[不動点アルゴリズム]]を用いて, ナッシュ均衡の近似値を計算することができる. [7] を参照.
 　[[展開形ゲーム]]における[[部分ゲーム完全均衡]], [[完全均衡]], [[逐次均衡]]などの計算については, [4] を参照.