不変埋没原理のソースを表示

'''【ふへんまいぼつげんり (principle of invariant imbedding)】'''

=== 概要 ===
動的計画法の基本原理の1つ. ある問題を解こうとするとき, この問題を含む部分問題からなる群(族)を考える. これを「埋め込み」という. ただし, それぞれの問題の「構造」は不変である. このとき, 問題の大きさは小さいものから大きいものまであり, 「1番大きい」問題が与問題である. 相隣る問題間の関係式を導き, これを解くことによって, 与問題の「解」を求める. 埋め込み方に工夫を要する.

=== 詳説 ===
　ある問題を解こうとするとき, この問題を含む部分問題からなる群(族)を考えることを「埋め込み」(imbedding)という. すなわち, 与問題をある問題群の１つと見做すことである. このとき, 問題の大きさは小さい(易しい)ものから大きい(難しい)ものまであり, 一番大きい(解きたい)問題が与問題である. しかし, 問題の「構造」は不変である. さらに, 相隣る問題間の関係式を導き, これを解くことによって, 与問題の「解」を求める. このような方法で解に至るまでを, [[不変埋没原理]] (principle of invariant imbedding)による方法という [1] [4] [5].  

　たとえば,「1から10までの自然数の和を求める」問題を考えてみよう. 以下ではいつも「1から」(前向きの方法で)考えることにして, この問題を <math>{\rm P}(10)\, </math> で表わし, 「解」(この場合, 和)を <math>S(10)\, </math> としよう. このとき, 「1から <math>n\, </math> までの自然数の和を求める」部分問題 <math>{\rm P}(n)\, </math> からなる群 <math>\{ {\rm P}(n); n = 1, 2, \ldots , 10\}\, </math> を考える. このこと自体が埋め込みである. 部分問題 <math>{\rm P}(n)\, </math> の解(<math>=\, </math>和)を <math>S(n)\, </math> とする. 最後の(一番大きい)問題 <math>{\rm P}(10)\, </math> の解 <math>S(10)\, </math> が求める解である. このとき, 最初の (一番易しい) 問題の解は <math>S(1) = 1\, </math> であり, 相隣る問題の解 <math>S(n)\, </math> と <math>S(n+1)\, </math> の間に漸化式


<center>
<math>S(n+1) = S(n) + n+1 \quad n = 1, 2, \ldots , 9; \quad S(1) = 1\, </math>
</center>


が成り立つ. 漸化式を <math>S(1), S(2), \ldots\, </math> の順に前向きに逐次解くことによって, <math>S(10) = 55\, </math> を得る. 他方, 「<math>n\, </math> から(いつも！)10までの自然数の和を求める」部分問題 <math>{\rm Q}(n)\, </math> の族を考えても, 上述と同様に解くことができる. これを後向きの埋め込みという.
 
　一般の問題では, どのような大きさの問題群に埋め込むか, 関係式が導けるか, 解けるか, 解き易いかなど, 埋め込み方に工夫を要する. たとえば, 多段階の最適化問題


<table align="center">
<tr>
<td><math>\mbox{max.} ~~ \psi(g_{1}(x_{1},x_{2}) \circ g_{2}(x_{2},x_{3}) \circ
 \cdots \circ g_{N}(x_{N},x_{N+1}) \circ k(x_{N+1}))  \, </math>
</td>
</tr>
<tr>
<td><math>\mbox{s. t.} ~~~ x_{n+1} \in A_{n}(x_{n}) \quad (1 \le n \le N), \, </math>
</td>
</tr>
</table>


の最大値 <math>u_{1}(x_{1})\, </math> と最大点  <math>x^{*} = (x_{1}, x_{2}^{*}, \ldots , x_{N+1}^{*})\, </math> を求めるには, 新たなパラメータ <math>\lambda_{n} (\in \Lambda_{n}(x_{n}))\, </math> を含む部分問題群 <math>{\mathcal P} = \{ {\rm P}_{n}(x_{n};\lambda_{n}) \}\, </math> :


<table align="center">
<tr>
<td><math>{\rm max.}~~ \psi(\lambda_{n} \circ g_{n}(x_{n},x_{n+1}) \circ \cdots
 \circ g_{N}(x_{N},x_{N+1}) \circ k(x_{N+1})) \, </math></td>
</tr>
<tr>
<td><math>\begin{array}{l}\mbox{s. t.} ~~~ x_{m+1} \in A_{m}(x_{m}) \quad (n \le m \le N), \\
~~~~ x_{n} \in X_{n}, \; \lambda_{n} \in \Lambda_{n}(x_{n}), ~ (1 \le n \le N+1),
\end{array} \, </math></td>
</tr>
</table>


に埋め込むと, パラメータ空間列 <math>\{\Lambda_{n}(\cdot)\}\, </math> は前向きの再帰式


<table align="center">
<tr>
<td><math>\Lambda_{1}(x) = \{ \tilde{\lambda}\},~~x \in X_{1}\, </math> <math>(\tilde{\lambda}\, </math>は結合演算<math>\circ\, </math>の左単位元<math>)\, </math>  </td>
</tr>
<tr>
<td><math>\begin{array}{lr}
\Lambda_{n+1}(y) = & \{\, \lambda \circ g_{n}(x,\,y) \, | \, \lambda \in \Lambda_{n}(x),~y \in A_{n}(x) \, \} \\ 
& y \in X_{n+1},~~ n = 1, 2, \ldots , N
\end{array}\, </math></td>
</tr>
</table>


で生成され, 最適値関数 <math>u_{n} = u_{n}(x_{n};\lambda_{n})\, </math>は次の後向き再帰式を満たす：


<table align="center">
<tr>
<td><math>u_{n}(x; \lambda) = \max_{y \in A_{n}(x)}u_{n+1}(\,y\,; 
\lambda \circ g_{n}(x,\,y))\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"><math>~~~~x \in X_{n}, ~~\lambda \in \Lambda_{n}(x),~~ n = 1, 2, \ldots , N\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td><math>u_{N+1}(x; \lambda) = \psi(\lambda \circ k(x))~~x \in X_{N+1},~~\lambda \in \Lambda_{N+1}(x).\, </math></td>
</tr>
</table>


これを後ろから逐次解き, 最後の <math>u_{1}(x_{1};\lambda_{1})\, </math> に <math>\lambda_{1} = \tilde{\lambda}\, </math> を代入すると求める最大値が得られる： <math>u_{1}(x_{1}) = u_{1}(x_{1};\tilde{\lambda}).\, </math>  

　また, [[非最適化]]問題としては, [[木の総容量]]など, 多重和 ([[多重和の解法]])

<!-- 
\begin{eqnarray}
{\rm S}_{1}(x_{1}):\hspace{-2.21mm}& & \sum
 \hspace{0.3mm}\sum\hspace{0.3mm}\cdots\hspace{0.3mm}\sum
_{\hspace{-21.1mm}(x_{2}, x_{3}, \cdots , x_{N+1}) \in P_{1}(x_{1})}
\hspace{-1.9mm}\psi(g_{1}(x_{1},x_{2}) \circ \cdots \circ
 g_{N}(x_{N},x_{N+1}) \circ k(x_{N+1}))\  \nonumber \\[2.34mm]
& & \hspace*{0.8mm}( P_{1}(x_{1}) := \{(x_{2}, \cdots , x_{N+1})\, |\,
 x_{n+1} \in A_{n}(x_{n})~~1 \le n \le N \}) \nonumber
\end{eqnarray}
-->

<table align="center">
<tr>
<td> <math>\mbox{S}_{1}(x_{1}):~~ {\sum \sum \cdots \sum}
_{(x_{2}, x_{3}, \cdots , x_{N+1}) \in P_{1}(x_{1})}
\psi(g_{1}(x_{1},x_{2}) \circ \cdots \circ
 g_{N}(x_{N},x_{N+1}) \circ k(x_{N+1}))\, </math>
</td>
</tr>
<tr>
<td><math>(P_{1}(x_{1}) := \{(x_{2}, \cdots , x_{N+1})\, |\,
 x_{n+1} \in A_{n}(x_{n})~~1 \le n \le N \})\, </math></td>
</tr>
</table>


を求める問題があって, やはりパラメータを含む埋め込みによって解くことができる. 

　このようなパラメータを導入した埋め込みは[[非可分性 (動的計画法における)|非可分性]]に起因し, [[単一評価系 (多段決定過程における)|単一評価系]], [[複合評価系 (多段決定過程における)|複合評価系]]の最適化, 期待値最適化, 多重和, 多重積分 ([[多重積分の解法]]) などで考えられる [2] [3]. 不変埋没原理は変数の離散と連続, システムの確定や確率やファジィ, 問題の最適と非最適を問わず, 歴史的には数学(微分方程式, 偏微分方程式の応用), 物理数学などで, また近年はコンピュータサイエンスで幅広く用いられている. 


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'''参考文献'''

[1] R. E. Bellman and E. D. Denman, ''Invariant Imbedding'', Lect. Notes in Operation Research and Mathematical Systems, Vol. 52, Springer-Verlag, Berlin, 1971.

[2] S. Iwamoto and T. Fujita, "Stochastic Decision-making in a Fuzzy Environment," ''Journal of the Operations Research Society of Japan'', '''38''' (1995), 467-482. 

[3] 岩本誠一,「不変埋没によるファジィ動的計画法」, 日本オペレーションズ・リサーチ学会第33回シンポジウム, 25-33, 1995. 

[4] E. S. Lee, ''Quasilinearization and Invariant Imbedding'', Academic Press, 1968. 

[5] 相良節夫, 杉坂政典,「Invariant Imbedding について」,『システムと制御』, '''17''' (1973), 596-601.


[[Category:動的・確率・多目的計画|ふへんまいぼつげんり]]