フェンシェル型双対定理のソースを表示

'''【ふぇんしぇるがたそうついていり (Fenchel-type duality theorem)】'''

フェンシェル(フェンケル)型双対定理とは, 一般に, 「凸関数」と「凹関数」の組<math>(f,g)</math>とそれらの共役関数の組<math>(f^{\bullet}, g^{\circ})</math>の間に成り立つ最大最小定理を意味する. 例えば, <math>\textstyle \langle p, x \rangle = \sum_{i=1}^{n}p_{i}x_{i}</math>として, 以下の形の主張となる. <br><br>


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<table　align = center>
<tr><td>
<math>\mbox{inf} \{ f(x) - g(x) \mid x \in {\mathbf Z} \} ^{n} =</math><br>
::<math>\mbox{sup} \{ g^{\circ}(p) - f^{\bullet}(p) \mid p \in {\mathbf Z}^{n} \} ,</math><br>
<math>f^{\bullet}(p) = \mbox{sup} \{\langle p, x \rangle - f(x) \mid x \in {\mathbf Z}^{n} \} : ( p \in {\mathbf Z}^{n}) ,</math><br>
<math>g^{\circ}(p) = \mbox{inf} \{\langle p, x \rangle - g(x) \mid x \in {\mathbf Z}^{n} \} : ( p \in {\mathbf Z}^{n}) .</math><br>
</td></tr>
</table></center>
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