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'''【あれんじめんと (arrangement) 】'''

　超平面のアレンジメント(hyperplane arrangement) とは, 超平面による空間の 分割である. [[双対変換]]によって, 点集合は超平面集合に変換されるので, 点集合の問題にも対応する. また, 離散システムの観 点からは, 線形有向マトロイドの1つの表現である. 組合せ幾何とアルゴリズ ムからの詳しい解説が [1] にある.  

　<math>d\, </math>次元ユークリッド空間<math>{\mathbf R}^d\, </math>内の<math>n\, </math>個の超平面(<math>d=2\, \, </math>の場合は直線) の集合<math>H\, </math>を考える. この<math>H\, </math>によって, <math>{\mathbf R}^d\, </math>はいろいろな次元のフェイス (face) に分割される. 例えば, 2次元内の有限個の直線の集合は, 2次元, 1次元, 0次元のフェイス (面, 辺, 点) に平面を自然に分割する. これらのフェイスの集合とその接続関係, 各フェイスに対しそれを含む超平面の情報を合わせたものを<math>H\, </math>のアレンジメントといい, <math>{\mathcal A}(H)\, </math>と書く. フェイスの次元を明記したいときは, <math>k\, </math>次元<math>(0 \le k\le d)\, </math>のフェイスを<math>k\, </math>-フェイスと書く. <math>0\, </math>-フェイスを頂点, <math>1\, </math>-フェイスを辺, <math>(d-1)\, </math>-フェイスを ファセット (facet), <math>d\, </math>-フェイスをセル (cell) とも呼ぶ.  

　フェイス<math>f\, </math>がフェイス<math>g\, </math>の部分フェイスであるとは, <math>f\, </math>の次元が<math>g\, </math>の次元 より1だけ小さく, <math>f\, </math>が<math>g\, </math>の境界に含まれていることである. <math>f\, </math>が<math>g\, </math>の部 分フェイスならば, <math>f\, </math>と<math>g\, </math>は (互いに) 接続しているといい, この関係 を接続関係という. フェイスの接続関係全体は束をなし, アレンジメントは, 各フェイスの座標など幾何情報と, このフェイスのなす束で表される.  

　<math>{\mathbf R}^d\, </math>内の<math>n\ge d\, </math>個の超平面のアレンジメントが単純 (simple) である とは, <math>H\, </math>に属する任意の<math>d\, </math>個の超平面は1点で交わり, どの<math>d+1\, </math>個の超平面 も共通の交点をもたないことである. アレンジメントの<math>k\, </math>-フェイスの最大数<math>f_k(H)\, </math>は, アレンジメントが単純であるとき達成され,  


<center>
<math>f_k(H)=\sum_{i=0}^k {d-i\choose k-i}{n\choose d-i}\, </math> 
</center>


で与えられる. 特に, <math>d\, </math>-フェイス, すなわちセルの数は<math>d\, </math>を定数とみなすと <math>\textstyle f_d(H) ={\sum}_{i=0}^d {n\choose d-i}={\rm O}(n^d)\, </math>となる.  

　アレンジメントは逐次添加法で構成できる. 超平面を1つずつ付け加え, アレンジメントの接続関係を更新していく方法である. 2次元の場合で, 平面上の<math>n\, </math>本の直線からなる単純なアレンジメントを構成する方法を述べる.  <math>n\, </math>本の直線の集合を<math>L=\{ l_1,l_2,\cdots ,l_n\}\, </math>とし, <math>(x,y)\, </math>平面上にあるとする. <math>k-1\, </math>本の直線<math>l_1,\cdots ,l_{k-1}\, </math>からなるアレンジメントに<math>k\, </math>番目の 直線<math>l_k\, </math>を加えてアレンジメントを更新する. 各頂点には, この頂点に接続している4つの辺を反時計回りの 順で貯えておく. 各辺には, その辺を含む直線の式と辺の両端点の頂点を覚えておく. <math>x=-\infty\, </math>で<math>l_k\, </math>のすぐ上にある直線を左から辿り, この辺の下に接続している面の境界を時計回りに回って行く. <math>l_k\, </math>と交わった時は, その交点から始めて, 今度は隣の面の境界 を時計回りに辿る. これを<math>l_k\, </math>がすでにアレンジメントに存在していた <math>k-1\, </math>本の直線と交わるまで行なう. この操作により, <math>l_k\, </math>上に新たに現れる頂点もすべて列挙することができ, そこでアレンジメントを更新していくことができる. その手間は, 直線<math>l_k\, </math>と交わる面の境界上で 辿る辺の数に比例する. 

　<math>d\, </math>次元の<math>n\, </math>個の超平面のアレンジメントにおいて, 新たに1つ超平面<math>h\, </math>を加え, <math>h\, </math>と交わる各セルのフェイスの集合を[[ゾーン]]と定義すると, 次のゾーン定理が成り立つ.  

[[ゾーン定理]]. <math>d\, </math>次元空間内の<math>n\, </math>個の超平面から成るアレンジメントにおいて, 1つの超平面のゾーンのフェイスの総数は<math>{\rm O}(n^{d-1})\, </math>である.  

　このゾーン定理より, アレンジメントを逐次添加法で構成したときの計算量を <math>{\rm O}(n^d)\, </math>でおさえることができる.  

　ゾーン定理の離散幾何への応用を1つ上げておく.  <math>d\, </math>次元の<math>n\, </math>超平面のアレンジメントのセルの集合を <math>{\mathcal C}\, </math>, 各セル<math>c\in {\mathcal C}\, </math>のファセットの数を<math>d(c)\, </math>としたとき,  <math>\textstyle {\sum}_{c\in{\mathcal C}}d(c)^2={\rm O}(n^d)\, </math>が成り立つ.  <math>\textstyle {\sum}_{c\in{\mathcal C}}d(c)={\rm O}(n^d)\, </math>  であるから, 各セルのファセットの数はそんなに分散が大きくないことが わかる. 2次元の場合には, このような関係から複数のセルの辺の数を評価することができる.  

　<math>d\, </math>次元超平面アレンジメントにおいて, <math>x_d\, </math>軸に平行な直線で貫いたときに下から<math>k\, </math>番目となる交点をもつフェイス全体の集合を<math>k\, </math>-レベル, または単に[[レベル (計算幾何における)|レベル]] という. 2次元の場合, 高々<math>k\, </math>までのレベルのサイズは<math>{\rm O}(kn)\, </math>であり,  <math>k\, </math>-レベルのサイズは<math>{\rm O}(\sqrt{k}n)\, </math>となる. 双対性より,  これは平面の<math>n\, </math>点を直線で等分割する方法の数が<math>{\rm O}(n^{1.5})\, </math>であることも 意味する. <math>k\, </math>-レベルを <math>{\rm O}(\sqrt{k}n(\log n)^2)\, </math>時間で求める 平面走査法アルゴリズムが知られている.  

　3次元の平面のアレンジメントでもレベルのサイズは<math>{\rm o}(n^3)\, </math>である. 4次元以上の 場合, 全体より小さいオーダであるかどうかはわかっていない. また, 高次元の場合 は, 0, 1次元フェイスの頂点, 辺で構成される[[スケルトン]]をたどるアルゴリズムも知られており, 特に3次元ではアレンジメント全体を 求めるよりも効率よく計算できる. レベルや1つのセルのスケルトンも 有用で, 点集合の問題を双対変 換して解いている場合, スケルトンのみで十分な場合もある.  

　曲線・曲面のアレンジメントも有用であり, このアレンジメントの1つのセルやゾーンの 組合せ複雑度の解析は, Davenport-Schinzel列の理論としてまとめられている. 定数次数の代数曲線のアレンジメントでは, セルのフェイス数は 一般次元で全体のオーダよりほぼ1つ小さな次数の数でおさえられる.  



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'''参考文献'''

[1] H. Edelsbrunner, ''Algorithms in Combinatorial Geometry,'' Springer-Verlag, 1987. 邦訳 (今井浩, 今井桂子訳), 『組合せ幾何学のアルゴリズム』, 共立出版, 1995.

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