フラクタルブラウン運動のソースを表示

'''【 ふらくたるぶらうんうんどう (fractal Brownian motion) 】'''

平均が<math>0</math>となるように値をずらせた[[確率過程]]<math>X(t)</math>が
[[ガウス過程]]，
すなわち，
任意の正の整数<math>n</math>と任意の<math>0 < t_{1} < \cdots < t_{n}</math>に
対して，
<math>X(t_{1}), X(t_{2}), \cdots, X(t_{n})</math>の結合分布が
[[多次元正規分布]]に等しいとする．
この確率過程は，
[[共分散]]が<math>0 < H < 1</math>を満たす定数<math>H</math>に対して，
<table align="center">
<tr>
<td><math>Cov(X(s),X(t)) = \frac 12 (t^{2H} + s^{2H} - (t-s)^{2H}), \qquad t > s > 0</math>
</td>
</tr>
</table>
であるとき，
[[ハースト定数]]<math>H</math>をもつ[[自己相似過程]]となる．
この自己相似過程を，
ハースト定数<math>H</math>をもつフラクタルブラウン運動と呼ぶ．
特に，<math>H=\frac 12</math>ならば[[ブラウン運動]]に等しい．
<math>H > \frac 12</math>ならば<math>H</math>が大きいほど強い正の相関をもち，<math>0 < H < \frac 12</math>ならば負の相関をもつ．