自己相似過程のソースを表示

'''【 じこそうじかてい (self similar process) 】'''

有限次元実ベクトル値[[確率過程]]$\{Z(t); t \ge 0\}$が，
ある$H > 0$と任意の正の数$a$に対して，
<table align="center">
<tr>
<td><math>\{Z(at); t \ge 0\} \cong \{a^{H} Z(t); t \ge 0\}</math>
</td>
</tr>
</table>
を満たすならば，
自己相似過程（self similar process）であるという．
ここに，<math>\cong</math>は分布が等しいことを表す．
また，この<math>H</math>をハースト定数（Hurst parameter）と呼ぶ．
例えば，[[ブラウン運動]]は<math>H=\frac 12</math>の自己相似過程である．
一般に，<math>\{Y(t)\}</math>が[[定常過程]]ならば，<math>Z(t)</math>を
<table align="center">
<tr>
<td><math>Z(t) = \left\{\begin{array}{ll}
  0, \qquad & t=0,\\
  t^{H} Y(\log t), \qquad & t > 0
  \end{array} \right.</math>
</td>
</tr>
</table>
により定義すれば，
<math>\{Z(t)\}</math>は<math>H</math>をハースト定数とする自己相似過程である．
これからわかるように，
<math>H</math>が大きいほど自己相似過程のバラツキは大きくなる．
特に，<math>H > \frac 12</math>ならば，<math>Z(t)</math>の分散は発散する．