分布の弱収のソースを表示

'''【 ぶんぷのじゃくしゅうそく (weak convergence of distribution) 】'''
           
<math>(S,\mathcal{B}(S))\,</math>を<math>S\,</math>を距離空間とする
ボレル可測空間とする．
この可測空間上の確率分布の列<math>\mu_{1}, \mu_{2}, \cdots\,</math>と
確率分布<math>\nu\,</math>が，
<math>(S,\mathcal{B}(S))\,</math>上の任意の有界な実数値連続関数<math>f\,</math>に対して，
<table align="center">
<tr>
<td><math>\lim_{n \to \infty} \int_{S} f(x) \mu_{n}(dx) = \int_{S} f(x) \nu(dx)</math>
</td>
</tr>
</table>
を満たすとき，
<math>n \to \infty\,</math>に対して<math>\mu_{n}\,</math>は<math>\nu\,</math>へ弱収束するという．
これは<math>\mathbf{X}_{n}\,</math>を確率分布<math>\mu_{n}\,</math>に従うランダムな変量，
<math>\mathbf{Y}\,</math>を確率分布<math>\nu\,</math>に従うランダムな変量とするとき，
<math>(S,\mathcal{B}(S))\,</math>上の任意の有界な実数値連続関数<math>f\,</math>に対して
<table align="center">
<tr>
<td><math>\lim_{n \to \infty} E(f(\mathbf{X}_{n})) = E(f(\mathbf{Y}))</math>
</td>
</tr>
</table>
が成り立つことに等しい．
特に，<math>S=(-\infty,+\infty)\,</math>ならば，
<math>\mu_{n}\,</math>の[[分布関数]]<math>F_{n}(x)\,</math>が<math>\nu\,</math>の分布関数<math>G(x)\,</math>に<math>G\,</math>のすべての連続点<math>x\,</math>で収束することに等しい．