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'''【じゅんかいせーるすまんもんだい (traveling salesman problem) 】'''

　点集合 <math>V\, </math>，枝集合 <math>E\, </math> から構成されるグラフ <math>G=(V,E)\, </math>, 枝 <math>(i,j) \in E\, </math> 上の距離 <math>d_{ij}\, </math> が与えられたとき，点集合 <math>V\, </math> のすべての点をちょうど1回ずつ経由する巡回路（ハミルトン閉路）で，枝の距離の合計を最小にするものを求める問題を[[巡回セールスマン問題]] (traveling salesman problem) （行商人問題）とよぶ．

　特に，距離の対称性（<math>d_{ij}=d_{ji}\, </math>）を満たすものを対称巡回セールスマン問題，3角不等式（<math>d_{ij} \leq d_{ik} + d_{kj}\, </math>）を満たすものを3角不等式を満たす巡回セールスマン問題，点集合が <math>d\, </math> 次元超立方体 <math>[0,1]^d\, </math> 内に分布しており，<math>2\, </math> 点間の距離が点間のユークリッド距離で定義されたものを[[ユークリッド巡回セールスマン問題]] (Euclidean (Euclidian) traveling salesman problem) とよぶ．

　巡回セールスマン問題に対する応用は，数百点を扱う基盤配線，運搬経路計画，スケジューリング，数万点を扱う基盤穿孔，X線結晶構造解析 (タンパク質の構造解析)，数百万点を扱うVLSI設計など，さまざまである．また，次世代のVLSI設計においては，数千万点の問題を解く必要があると言われている．

　巡回セールスマン問題は，[[NP困難]] (NP-hard) であり, 多項式時間の厳密解法が絶望視されているばかりでなく，近似比が 一定値<math>\alpha (<\infty)\, </math> で抑えられる多項式時間の近似解法さえ<math>{\rm P} \neq {\rm NP}\, </math> のもとでは存在しないことが示されている．

　3角不等式を満たす対称巡回セールスマン問題に対しては，近似比が <math>3/2\, </math> 以下の保証をもつ多項式時間の近似解法が知られている．また，<math>d\, </math> を定数としたときの <math>d\, </math> 次元ユークリッド巡回セールスマン問題に対しては，固定された <math>\epsilon >0\, </math> を与えたときに，近似比が <math>1+\epsilon\, </math> 以下に抑えられる多項式時間の近似解法（近似スキーム）が存在する．

　実用的な近似解法としては，[[最近近傍法]] (nearest neighbor method) や[[セービング法]] (saving method) によって構築された巡回路を[[k-opt法 (巡回セールスマン問題の)|k-opt法]] (<math>k\, </math>-opt)で改善する方法が一般的である．厳密解法としては，巡回セールスマン問題の多面体構造（[[TSP多面体]](TSP polytope)）を利用した[[分枝カット法]] (branch and cut method) が有効であり，実務的な大規模問題の求解に成功している．


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'''参考文献'''

[1] 山本芳嗣, 久保幹雄,『巡回セールスマン問題への招待』, 朝倉書店，1997.


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